Résolution de X' = AX Cas où A est une matrice (2, 2) à valeurs propres complexes

Soit à résoudre un système réel \(X ' = A X\), où la matrice \(A\) est une matrice carrée de dimension 2 à valeurs propres complexes.

On peut trouver les solutions complexes du système en utilisant les méthodes exposées dans les pages précédentes. On obtient ainsi toutes les solutions complexes en donnant aux constantes des valeurs arbitraires complexes.

Nous allons voir maintenant comment trouver toutes les solutions réelles de ce système.

Ecrivons le système sous la forme

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.} \quad (1)\)

Puisque les coefficients a, b, c, d sont réels, les valeurs propres sont conjuguées; notons les

\(\alpha \pm i\beta\)

Proposition

Soient \(\alpha \pm i\beta\) les valeurs propres complexes conjuguées de la matrice du système.

Les solutions réelles de (1) sont de la forme

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t)=\textrm{e}^{\alpha t}[C\textrm{cos}\beta t+D\textrm{sin}\beta t] \\ y(t)=\textrm{e}^{\alpha t}[E\textrm{cos}\beta t+F\textrm{sin}\beta t]\end{array}\right.}\)

où C et D peuvent être choisis arbitrairement, E et F se calculant en fonction de C et D en reportant \(x(t)\) et \(y(t)\) dans une des équations du système initial.

Remarque

Si \(\alpha=0\), c'est-à-dire que les valeurs propres sont imaginaires pures, les solutions sont périodiques de période \(2\pi/\beta\)

DémonstrationDémonstration de la Proposition

Soit \(A\) l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique est \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d\end{array}\right)}\)

Le vecteur propre complexe relatif à \(\alpha+i\beta\) est de la forme \(U + i V\), où \(U\) et \(V\) sont des vecteurs réels de \(R\) (celui relatif à \(\alpha+i\beta\) est \(U - i V\)).

On a donc \(A(U+iV)=AU+iAV=(\alpha+i\beta)(U+iV)=\alpha U+i\beta U+\alpha iV-\beta V\)

En séparant parties réelles et imaginaires, on trouve

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}AU=\alpha U-\beta V \\ AV=\beta U+\alpha V \end{array}\right.}(*)\)

Puisque les vecteurs \(U + i V\) et \(U - i V\) sont indépendants (sur \(C\)), les vecteurs \(U\) et \(V\) sont indépendants (sur \(R\)) (exercice : démontrer cette affirmation ).

Nous allons travailler dans la base \(U\), \(V\).

Il résulte de (*) que la matrice de \(A\) dans la base \(U\), \(V\) est \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}\alpha&\beta \\ -\beta&\alpha\end{array}\right)}\)

Appelons \(u(t)\) et \(v(t)\) les composantes d'une solution \(X(t)\) dans la base \(U,V\).

Les fonctions \(u\) et \(v\) vérifient le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u'=\alpha u-\beta v \\ v'=\beta u+\alpha v\end{array}\right.}(2)\)

Or on vérifie facilement que les couples de fonctions

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u(t)=\textrm{exp}(\alpha t)\textrm{cos}(\beta t) \\ v(t)=\textrm{exp}(\alpha t)\textrm{sin}(\beta t)\end{array}\right.}\)

et

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u(t)=-\textrm{exp}(\alpha t)\sin(\beta t) \\ v(t)=\textrm{exp}(\alpha t)\cos(\beta t)\end{array}\right.}\)

sont des solutions de ce système.

Comme ces couples de fonctions sont indépendants, ils forment une base des solutions du système (2).

La solution générale du système (2) s'écrit donc

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u(t)=\textrm{exp}(\alpha t)[A\cos(\beta t)-B\sin(\beta t)] \\ v(t)=\textrm{exp}(\alpha t)[B\cos(\beta t)+A\sin(\beta t)]\end{array}\right.}\)

Soit \(P\) est la matrice de passage de la base canonique à la base \(U\), \(V\), (les colonnes de \(P\) sont les composantes de \(U\) et \(V\) dans la base canonique).

Si \(x(t)\), \(y(t)\) sont les composantes de la solution \(X(t)\) dans la base canonique, on a \(\displaystyle{\left[\begin{array}{cc}x(t) \\ y(t)\end{array}\right] = P \left[\begin{array}{cc}u(t) \\ v(t)\end{array}\right]}\)

On obtient bien des solutions \(x(t)\) et \(y(t)\) de la forme annoncée, dépendant de 2 constantes arbitrairement choisies.

ExempleExemple de résolution d'un système à valeurs propres complexes par identification

Soit à résoudre le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=x+y \\ y'=-4x+y\end{array}\right.}\)

La matrice du système \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -4 & 1\end{array}\right)}\) admet pour valeurs propres \(1 \pm 2i\)

Les solutions sont donc de la forme

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t)=\textrm{exp}(t)[C\cos(2t)+D\sin(2t)] \\ y(t)=\textrm{exp}(t)[E\cos(2t)+F\sin(2t)] \end{array}\right.}\)

Calculons \(x '(t)\) :

\(x'(t)=\textrm{exp}(t)[(C+2D)\cos(2t)+(D-2C)\sin(2t)]\)

D'autre part,

\(x(t)+y(t)=\textrm{exp}(t)[(C+E)\cos(2t)+(D+F)\sin(2t)]\)

En identifiant \(x'(t)\) avec \(x(t) + y(t)\) (première ligne du système), on trouve : \(E = 2D\) et \(F = -2C\).

La solution générale est donc

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t)=\exp(t)[A\cos(2t)+B\sin(2t)] \\ y(t)=2\exp(t)[A \sin(2t)-B\cos(2t)] \end{array}\right.}\)

Le lecteur s'assurera qu'on obtiendrait le même résulat en identifiant \(y'(t)\) avec \(- 4 x(t) + y(t)\).

ExempleExemple de résolution d'un système à valeurs propres complexes par changement de base

Soit à résoudre le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=x+y \\y'=-4x+y \end{array}\right.}\)

La matrice du système \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} 1&1 \\ -4&1\end{array}\right)}\) admet pour valeurs propres \(1\pm2i\)

Un vecteur propre relatif à \(1 + 2 i\) est \(\displaystyle{\left[\begin{array}{cc}1 \\ 2i\end{array}\right]} = \displaystyle{\left[\begin{array}{cc}1 \\ 0\end{array}\right]}+i\displaystyle{\left[\begin{array}{cc}0 \\ 2\end{array}\right]}=U+iV\)

La matrice de passage de la base canonique à la base \((U,V)\) est \(P =\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)}\)

Pour ce placer dans cette base, posons \(\displaystyle{\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]= P\left[\begin{array}{cc}u \\ v\end{array}\right]}\)

On a vu, dans la démonstration de la proposition, que si les valeurs propres conjuguées sont\(\alpha\pm i\beta\) le système en \((u,v)\) s'écrit \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll} u' = \alpha u + \beta v \\ v'=-\beta u + \alpha v\end{array}\right.}\)

et que sa solution générale est

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u(t) = \textrm{exp}(\alpha t)[A \cos(\beta t) + B \sin(\beta t)] \\ v(t) = \textrm{exp}(\alpha t)[B \cos(\beta t) - A \sin(\beta t)]\end{array}\right.}\)

Ici, on a \(\alpha=1,\beta=2\), donc la solution générale en \((u,v)\) est

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u(t) = \textrm{exp}(t)[A \cos(2 t) + B \sin(2 t)] \\ v(t) = \textrm{exp}(t)[B \cos(2 t) - A \sin(2 t)]\end{array}\right.}\)

En faisant \(\displaystyle{\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] = P\left[\begin{array}{cc} u \\ v\end{array}\right]}\) , on trouve la solution générale du système initial :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t) = \textrm{exp}(t)[A \cos(2t) + B \sin(2t)] \\ y(t) = 2\textrm{exp}(t)[A\sin(2t) - B\cos(2t)]\end{array}\right.}\)

Remarque

La démonstration de la proposition utilise une base \((U, V)\) de \(R^2\) adaptée au problème. En utilisant cette base, on peut écrire directement les solutions au moyen de seulement deux constantes arbitraires.

Nous donnons ci-dessus un exemple de chaque méthode.