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Résolution de X' = AX Cas où A est une matrice (2, 2) à valeurs propres complexes

Soit à résoudre un système réel , où la matrice est une matrice carrée de dimension 2 à valeurs propres complexes.

On peut trouver les solutions complexes du système en utilisant les méthodes exposées dans les pages précédentes. On obtient ainsi toutes les solutions complexes en donnant aux constantes des valeurs arbitraires complexes.

Nous allons voir maintenant comment trouver toutes les solutions réelles de ce système.

Ecrivons le système sous la forme

Puisque les coefficients a, b, c, d sont réels, les valeurs propres sont conjuguées; notons les

Proposition

Soient les valeurs propres complexes conjuguées de la matrice du système.

Les solutions réelles de (1) sont de la forme

où C et D peuvent être choisis arbitrairement, E et F se calculant en fonction de C et D en reportant et dans une des équations du système initial.

Remarque

Si , c'est-à-dire que les valeurs propres sont imaginaires pures, les solutions sont périodiques de période

Démonstration : Démonstration de la Proposition

Soit l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique est

Le vecteur propre complexe relatif à est de la forme , où et sont des vecteurs réels de (celui relatif à est ).

On a donc

En séparant parties réelles et imaginaires, on trouve

Puisque les vecteurs et sont indépendants (sur ), les vecteurs et sont indépendants (sur ) (exercice : démontrer cette affirmation ).

Nous allons travailler dans la base , .

Il résulte de (*) que la matrice de dans la base , est

Appelons et les composantes d'une solution dans la base .

Les fonctions et vérifient le système

Or on vérifie facilement que les couples de fonctions

et

sont des solutions de ce système.

Comme ces couples de fonctions sont indépendants, ils forment une base des solutions du système (2).

La solution générale du système (2) s'écrit donc

Soit est la matrice de passage de la base canonique à la base , , (les colonnes de sont les composantes de et dans la base canonique).

Si , sont les composantes de la solution dans la base canonique, on a

On obtient bien des solutions et de la forme annoncée, dépendant de 2 constantes arbitrairement choisies.

Exemple : Exemple de résolution d'un système à valeurs propres complexes par identification

Soit à résoudre le système

La matrice du système admet pour valeurs propres

Les solutions sont donc de la forme

Calculons :

D'autre part,

En identifiant avec (première ligne du système), on trouve : et .

La solution générale est donc

Le lecteur s'assurera qu'on obtiendrait le même résulat en identifiant avec .

Exemple : Exemple de résolution d'un système à valeurs propres complexes par changement de base

Soit à résoudre le système

La matrice du système admet pour valeurs propres

Un vecteur propre relatif à est

La matrice de passage de la base canonique à la base est

Pour ce placer dans cette base, posons

On a vu, dans la démonstration de la proposition, que si les valeurs propres conjuguées sont le système en s'écrit

et que sa solution générale est

Ici, on a , donc la solution générale en est

En faisant , on trouve la solution générale du système initial :

Remarque

La démonstration de la proposition utilise une base de adaptée au problème. En utilisant cette base, on peut écrire directement les solutions au moyen de seulement deux constantes arbitraires.

Nous donnons ci-dessus un exemple de chaque méthode.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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