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Résolution d'un système X' = AX quand A admet des valeurs propres toutes réelles et n'est pas diagonalisable

Si la matrice a toutes ses valeurs propres réelles, mais que certaines sont multiples, elle n'est peut-être pas diagonalisable, mais elle est toujours trigonalisable : on peut trouver une matrice triangulaire supérieure et une matrice inversible telles que .

Posons, comme dans le cas diagonalisable, .

On a .

Voyons comment résoudre le système , où est triangulaire supérieure.

Si la matrice T s'écrit

Le système s'écrit

La solution générale de la dernière équation est

En reportant dans l'avant dernière, on trouve

C'est une équation linéaire du premier ordre avec second membre.

On sait la résoudre :

La solution gérérale de l'équation homogène associée est

On en cherche une solution particulière sous la forme

(Remarquons que le coefficient dépend de ).

En reportant ainsi chaque fois les solutions trouvées dans l'équation précédente, on obtient la solution générale du système . Cette solution dépend de constantes arbitraires .

Pour trouver la solution générale du système , il suffit de faire

.

Exemple : Exemple d'un système différentiel dont la matrice n'est pas diagonalisable

Soit à résoudre le système

Il s'écrit sous forme matricielle , où est la matrice

Les valeurs propres de A sont 1 (valeur propre simple) et 2 (valeur propre double).

Un vecteur propre pour 1 est

L'espace propre pour 2 est de dimension 1, un vecteur propre est

La matrice n'est donc pas diagonalisable.

Complétons la base avec le vecteur

On a

On a donc , où et T la matrice triangulaire

Posons .

La fonction vectorielle vérifie le système , qu'on écrit

Ce système se résout de proche en proche en commençant par la fin.

Les solutions de sont .

Les solutions de sont .

Les solutions de sont .

Pour trouver la solution générale du système initial, il suffit de faire , soit

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