Résolution d'un système X' = AX quand A admet des valeurs propres toutes réelles et n'est pas diagonalisable

Si la matrice \(A\) a toutes ses valeurs propres réelles, mais que certaines sont multiples, elle n'est peut-être pas diagonalisable, mais elle est toujours trigonalisable : on peut trouver une matrice triangulaire supérieure \(T\) et une matrice inversible \(P\) telles que \(A = P T P^{-1}\).

Posons, comme dans le cas diagonalisable, \(X(t) = P U(t), \textrm{ soit } U(t) =P^{-1} X(t)\).

On a \(U'(t) = P^{-1} X'(t) = P^{-1} A X(t) = P^{-1} P T P^{-1}X(t) = T U(t)\).

Voyons comment résoudre le système \(U'(t) = T U(t)\), où \(T\) est triangulaire supérieure.

Si la matrice T s'écrit

\(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccc}\alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & ... & \alpha_{1,n} \\ 0 & \alpha_{2,2} & ... & \alpha_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & \alpha_{n,n}\end{array}\right)}\)

Le système s'écrit

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}u'_1=\alpha_{1,1}u_1+\alpha_{1,2}u_2+...+\alpha_{1,n}u_n \\ u'_2=\alpha_{2,2}u_2+...+\alpha_{2,n}u_n \\ \vdots \\ u'_n=\alpha_{n,n}u_n\end{array}\right.}\)

La solution générale de la dernière équation est

\(x_n=c_n\textrm{exp}(\alpha_{n,n}t)\)

En reportant dans l'avant dernière, on trouve

\(u'_{n-1}=\alpha_{n-1,n-1}u_{n-1}-\alpha_{n-1,n}c_n\textrm{exp}(\alpha_{n,n}t)\)

C'est une équation linéaire du premier ordre avec second membre.

On sait la résoudre :

La solution gérérale de l'équation homogène associée est

\(c_{n-1}\textrm{exp}(\alpha_{n-1,n-1}t)\)

On en cherche une solution particulière sous la forme

\(\alpha\textrm{exp}(\alpha_{n,n}t)\textrm{ si }\alpha_{n,n} \neq \alpha_n - 1,n -1,\)

\(\alpha t(\textrm{exp})(\alpha_{n,n}t)\textrm{ si }\alpha_{n,n} = \alpha_n - 1,n -1.\)

(Remarquons que le coefficient \(\alpha\) dépend de \(c_n\)).

En reportant ainsi chaque fois les solutions trouvées dans l'équation précédente, on obtient la solution générale \(U(t)\) du système \(U' = TU\). Cette solution dépend de \(n\) constantes arbitraires \(c_1, ..., c_n\).

Pour trouver la solution générale du système \(X' = AX\), il suffit de faire

\(X(t) = P U(t)\).

ExempleExemple d'un système différentiel dont la matrice n'est pas diagonalisable

Soit à résoudre le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x'=x+2y+z \\ y'=y+z \\ z'=-y+3z\end{array}\right.}\)

Il s'écrit sous forme matricielle \(X' = A X\), où \(A\) est la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 3\end{array}\right)}\)

Les valeurs propres de A sont 1 (valeur propre simple) et 2 (valeur propre double).

Un vecteur propre pour 1 est \(V_1 = \displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)}\)

L'espace propre pour 2 est de dimension 1, un vecteur propre est \(V_2 = \displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)}\)

La matrice n'est donc pas diagonalisable.

Complétons la base avec le vecteur \(V_3 = \displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)}\)

On a \(AV_3 = - 2 V_1 + V_2; + 2 V_3\)

On a donc \(A = P T P^{-1}\), où \(P = \displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)}\) et T la matrice triangulaire \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 &-2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)}\)

Posons \(X(t) = PU(t)\).

La fonction vectorielle \(U(t)\) vérifie le système \(U' = TU\), qu'on écrit

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}u'=u-2w \\ v'=2v+w \\ w'=2w\end{array}\right.}\)

Ce système se résout de proche en proche en commençant par la fin.

Les solutions de \(w' = 2w\) sont \(w(t) = a e^{2t}\).

Les solutions de \(v' = 2v + a e^{2t}\) sont \(v(t) =(b + at) e^{2t}\).

Les solutions de \(u' = u - 2a e^{2t}\) sont \(u(t) = c e^t -2a e^{2t}\).

Pour trouver la solution générale du système initial, il suffit de faire \(X = PU\), soit

\(\displaystyle{\left[\begin{array}{lll}x(t) \\ y(t) \\ z(t)\end{array}\right]} = \displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)}\displaystyle{\left[\begin{array}{lll}c\textrm{e}^t-2\alpha\textrm{e}^{2t} \\ (b+\alpha t)\textrm{e}^{2t} \\ \alpha\textrm{e}^{2t}\end{array}\right]} = \displaystyle{\left[\begin{array}{lll}c\textrm{e}^t+(3b-2\alpha+3\alpha t)\textrm{e}^{2t} \\ (b+\alpha t)\textrm{e}^{2t} \\ (b+\alpha+\alpha t)\textrm{e}^{2t}\end{array}\right]}\)