Association mixte de générateurs

Partie

Question

On dispose de \(n\) générateurs identiques, de f.é.m. \(E\) et de résistance interne \(r\).

  1. Quelles sont les caractéristiques du générateur équivalent à \(x\) générateurs montés en parallèle ?

  2. Quelles sont les caractéristiques du générateur équivalent à \(y\) générateurs montés en série ?

  3. On associe maintenant en parallèle \(x\) branches contenant chacune \(y\) générateurs. Cet ensemble alimente un circuit de résistance \(R\). Comment faut-il choisir les valeurs de \(x\) et \(y\) pour que le courant dans le circuit ait une intensité de valeur maximale ?

Application numérique :\( n=12 ; E=1,5 \textrm{ V} ; r=1 \;\Omega ; R = 6\;\Omega\)

Aide simple

Coup de pouce :

  • Question 1

    Utiliser le modèle de Norton.

  • Question 2

    Utiliser le modèle de Thévenin.

  • Question 3

    Remplacer chaque branche par le modèle de Norton équivalent.

Aide détaillée

Aide plus sérieuse :

  • Question 1

    Le modèle de Norton est caractérisé par le courant de court-circuit et la conductance interne.

  • Question 2

    Le modèle de Thévenin est caractérisé par la f.é.m. et la résistance interne.

  • Question 3

    Déterminer le modèle de Thévenin d'une branche ; en déduire le modèle de Norton. Utiliser ce modèle pour trouver le générateur de Norton équivalent à \(x\) branches.

    Sachant que \(n = x.y\), exprimer\( \displaystyle{I_{xy}}\), courant de court-circuit de l'association, en fonction de \(x\), calculer\(\displaystyle{\frac{d(I_{xy})}{dx}}\) pour déterminer le maximum.

Solution simple

Question 1 :

  • \(\displaystyle{I_x=x.\frac{E}{r} ;g_x=\frac{x}{r}} (\textrm{modèle de Norton})\)

  • \(\displaystyle{E_x=E ;r_x=\frac{r}{x} (\textrm{ modèle de Thévenin}) }\)

Question 2 :

  •  \(\displaystyle{E_y=y.E ;r_y=y.r(\textrm{ modèle de Thévenin })}\)

  • \(\displaystyle{I_y=\frac{E}{r} ;g_y=\frac{1}{y.r}(\textrm{ modèle de Norton })}\)

Question 3 :

  • \(x = 2 ; y = 6\)

Solution détaillée

Question 1 :

Le modèle de Norton d'un générateur isolé est le suivant :

\(\displaystyle{I_0=\frac{E}{r};g=\frac{1}{r}}\)

Si on associe x générateurs en parallèle :

  • Le courant de court-circuit est la somme des courants de court-circuit :

    \(\displaystyle{I_x=x.I_0=x.\frac{E}{r}}\)

  • La conductance interne est la somme des conductances :

    \(\displaystyle{g_x=x.g}\)

Question 2 :

Les caractéristiques du générateur isolé sont celles du modèle de Thévenin. Si on associe y générateurs en série :

la f.é.m. de l'association est la sommes des f.é.m. \(E_y = y.E\)

la résistance interne est la somme des résistances : \(r_y = y.r\)

Question 3 :

Le modèle de Thévenin d'une branche a pour caractéristiques :

  • \(\displaystyle{E_b=y.E}\)

  • \(\displaystyle{r_b=y.r}\)

Le modèle de Norton s'en déduit

  • \(\displaystyle{I_b=\frac{E_b}{r_b}=\frac{E}{r}=g.E}\)

  • \(\displaystyle{g_b=\frac{1}{r_b}=\frac{g}{y}}\)

Pour \(x\) branches en parallèle, le courant de court-circuit sera donc :

\(\displaystyle{I_{\infty}=x.I_b=g.x.E}\)

et la conductance interne :

\(\displaystyle{g_i=x.g_b=\frac{x}{y}.g}\)

Le montage étudié peut-être schématisé comme suit :

Dans ce diviseur de courant

\(\begin{array}{lll}I&=&I_{\infty}.\frac{G}{G+g_i}\\\\I&=&\frac{g.E.x.G}{G+\frac{x}{y}.g}\end{array}\)

Comme\( \displaystyle{x.y=n,y=\frac{n}{x}}\)

\(\displaystyle{I_{\infty}=g.G.E\frac{x}{G+\frac{x^2}{n}.g}}\)

\(\begin{array}{lll}\frac{dI_{\infty}}{dx}&=&g.G.E\frac{G+\frac{x^2}{n}.g-x(\frac{2x}{n}.g)}{(G+\frac{X^2}{n})^2}\\\\&=&g.G.E\frac{G-\frac{x^2}{n}.g}{(G+\frac{x^2}{n})^2}\end{array}\)

qui s'annule si Applications numériques : x = 2 y = 6

qui s'annule si \(\displaystyle{G-\frac{x^2}{n}.g=0}\)

\(\displaystyle{x^2=\frac{n.G}{g}=\frac{n.r}{R}}\)

Applications numériques :

\(\displaystyle{x^2=\frac{24.1}{6}=4}\)

\(x = 2\)

\(y = 6\)