Cinématique dans l'espace temps
Partie
Question
Grandeurs cinématiques sur une hélice (*)
Le rayon vecteur\( \displaystyle{\overrightarrow{OM}=\overrightarrow r}\)
varie en fonction du temps suivant la loi :
\(\displaystyle{\overrightarrow r=a\cos\omega t\overrightarrow i+a\sin\omega t\overrightarrow j+ct^2\overrightarrow k}\)
Indiquer l'allure de la courbe décrite par \(M\).
Donner l'expression de l'accélération et sa norme.
Aide simple
Décomposer le vecteur position en un mouvement vertical et un mouvement circulaire plan
Solution détaillée
En projection sur \(xOy\) on a un cercle, la trajectoire est une hélice dont le pas croît comme le carré du temps.
Le vecteur vitesse est :
\(\displaystyle{\overrightarrow v=-a\omega\sin\omega t\overrightarrow i+a\omega\cos\omega t\overrightarrow j+2ct\overrightarrow k}\)
et l'accélération
\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma=-a\omega^2\cos\omega t\overrightarrow i-a\omega^2\sin\omega t\overrightarrow j+2c\overrightarrow k}\)
dont la norme est constante:
\(\displaystyle{\vert\vert\overrightarrow\gamma\vert\vert=\sqrt{a^2\omega^4+4c^2}=\textrm{Constante}}\)