Cinématique dans l'espace temps
Partie
Question
Formules de Binet (**)
On considère une particule dont le mouvement est plan. On se place dans le cas particulier où son accélération est centrale et dirigée vers le point O. On utilise le repère polaire.
a. Montrer que le moment \(\displaystyle{\overrightarrow C}\) de la vitesse de la particule par rapport à \(O\) est un vecteur constant.
b. On pose \(\displaystyle{\overrightarrow C=C\overrightarrow k}\) . Déterminer l'expression de \(C\).
c. En déduire que: \(\displaystyle{\rho\ddot\phi+2\dot\rho\dot\phi=0}\)
d. Déterminer l'expression de \(\overrightarrow a\) , accélération du mouvement.
e. Calculer \(v^2\) .
On se propose, dans les expressions de \(v^2\) et de\( \overrightarrow a\), de remplacer les dérivées de \(\rho\) et \(\phi\) par rapport au temps par les dérivées (première ou seconde ) de \(\rho\) par rapport à \(\phi\).
a. Montrer que \(\displaystyle{(\frac{\textrm d\rho}{\textrm{dt}})^2}\) peut se mettre sous la forme : \(\displaystyle{\dot\rho^2=(\frac{\textrm d\rho}{\textrm d\phi})^2\frac{C^2}{\rho^4}}\)
b. Vérifier que :\(\displaystyle{\frac{1}{\rho^2}\frac{\textrm d\rho}{\textrm{d}\phi}=-\frac{\textrm d}{\textrm{d}\phi}(\frac{1}{\rho})}\)
En déduire la première relation de Binet portant sur la norme de la vitesse :
\(\displaystyle{v^2=C^2[(\frac{\textrm d}{\textrm d\phi}(\frac{1}{\rho}))^2+(\frac{1}{\rho})^2]}\)
c. Montrer que\( \displaystyle{\ddot\rho=\frac{\textrm d^2\rho}{\textrm{dt}^2}}\)
peut se mettre sous la forme : \(\displaystyle{\ddot\rho=\frac{C}{\rho^2}\frac{\textrm d}{\textrm{d}\phi}(\frac{C}{\rho^2}\frac{\textrm d\phi}{\textrm d\phi})}\)
d. En déduire la deuxième relation de Binet portant sur l'accélération :
\(\displaystyle{\overrightarrow a=-\frac{C^2}{\rho}[\frac{\textrm d^2}{\textrm d\phi^2}(\frac{1}{\rho})+(\frac{1}{\rho})]\overrightarrow u_\rho}\)
Aide simple
Montrer que la dérivée par rapport au temps est nulle
Utiliser le produit vectoriel des vecteurs de base
Savoir dériver par rapport au temps et par rapport aux coordonnées d'espace
Solution détaillée
1)
a. Par définition du moment d'un vecteur
\(\displaystyle{\overrightarrow C=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow v}\)
Pour montrer qu'il est constant, dérivons par rapport au temps ; il vient
\(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow C}{\textrm{dt}}=\frac{\textrm d{\overrightarrow{OM}}}{\textrm{dt}}\wedge\overrightarrow v+\overrightarrow{OM}\wedge\frac{\textrm d\overrightarrow v}{\textrm{dt}}}\)
Donc \(\overrightarrow C\) est un vecteur constant
b. Posons
\(\displaystyle{\overrightarrow C=C\overrightarrow k\textrm{ et }\overrightarrow{OM}=\rho\overrightarrow u_\rho}\)
On sait que\( \displaystyle{\overrightarrow v=\rho\overrightarrow u_\rho+\rho\phi\overrightarrow u_\phi}\)
\(\displaystyle{\overrightarrow C=\rho\overrightarrow u_\rho\wedge(\rho\overrightarrow u_\rho+\rho\phi\overrightarrow u_\phi)=\rho^2\dot\phi\overrightarrow k}\)
d'où \(\displaystyle{C=\rho^2\dot\phi\quad(1)}\)
c. \(C\) = constante entraîne
\(\displaystyle{\frac{\textrm dC}{\textrm{dt}}=0\textrm{ soit }2\rho\dot\rho\dot\phi+\rho^2\ddot\phi=0}\)
\(\displaystyle{\rho\ddot\phi+2\dot\rho\dot\phi=0\quad(2)}\)
Ceci nous donne une première équation du mouvement : c'est une équation différentielle du deuxième degré en \(\phi\) et du premier degré en \(r\).
d. On sait que
\(\displaystyle{\overrightarrow a=(\ddot\rho-\rho\dot\phi^2)\overrightarrow u_\rho+(2\dot\rho\dot\phi+\rho\ddot\phi)\overrightarrow u_\phi}\)
d'où d'après (2)
\(\displaystyle{\overrightarrow a=(\ddot\rho-\rho\dot\phi^2)\overrightarrow u_\rho}\)
e. Le calcul de \(v^2\) se fait par le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow v.\overrightarrow v}\) , ce qui donne :
\(\displaystyle{v^2=\dot\rho^2+\rho^2\dot\phi^2}\)
La deuxième partie du problème consiste à transformer vitesse et accélération en tenant compte de \(C\), pour faciliter la détermination de l'équation des trajectoires. On obtient ainsi les formules de Binet pour la vitesse et l'accélération.
2)
a. Comme
\(\displaystyle{\dot\rho=\frac{\textrm d\rho}{\textrm{dt}}=\frac{\textrm d\rho}{\textrm d\phi}\frac{\textrm d\phi}{\textrm{dt}}\textrm{ or }\frac{\textrm{d}\phi}{\textrm{dt}}=\frac{C}{\rho^2}}\)
on obtient
\(\begin{array}{lcl}\dot\rho&=&\frac{\textrm d\rho}{\textrm{d}\phi}\frac{C}{\rho^2}\\\dot\rho^2&=&(\frac{\textrm d\rho}{\textrm d\phi})^2\frac{C^2}{\rho^4}\end{array}\)
b. On a successivement
\(\displaystyle{\frac{1}{\rho^2}\frac{\textrm d\rho}{\textrm d\phi}=-\frac{\textrm d}{\textrm d\phi}(\frac{1}{\rho})\Longrightarrow\dot\rho=-C\frac{\textrm d}{\textrm{d}\phi}(\frac{1}{\rho})}\)
\(\displaystyle{v^2=\dot\rho^2+\rho^2\dot\phi^2=\dot\rho^2+\frac{\rho^4\dot\phi^2}{\rho^2}=\dot\rho^2+\frac{C^2}{\rho^2}}\)
\(\displaystyle{v^2=C^2[(\frac{\textrm d}{\textrm{d}\phi}(\frac{1}{\rho}))^2+(\frac{1}{\rho})^2]}\)
c. D'après (3)
\(\displaystyle{\dot\rho=-C\frac{\textrm d}{\textrm d\phi}(\frac{1}{\rho})}\)
d'après (1)
\(\begin{array}{lcl}\ddot\rho&=&-C\frac{\textrm d^2}{\textrm d\phi^2}(\frac{1}{\rho})\frac{\textrm d\phi}{\textrm{dt}}\quad\textrm{ or }\quad\frac{\textrm{d}\phi}{\textrm{dt}}=\frac{C}{\rho^2}\\\ddot\rho&=&-C\frac{\textrm d^2}{\textrm{d}\phi^2}(\frac{1}{\rho})\frac{C}{\rho^2}=-\frac{C^2}{\rho^2}\frac{\textrm d^2}{\textrm d\phi^2}(\frac{1}{\rho})\end{array}\)
\(\ddot\rho=-\frac{C^2}{\rho^2}\frac{\textrm d^2}{\textrm d\phi^2}(\frac{1}{\rho})\quad\quad(4)\)
\(\displaystyle{\rho=\frac{C}{\rho^2}\frac{\textrm d}{\textrm{d}\phi}(\frac{C}{\rho^2}\frac{\textrm d\rho}{\textrm d\phi})}\)
d) D'après (4)
\(\displaystyle{\overrightarrow a=(\ddot\rho-\rho\dot\phi^2)\overrightarrow u_\rho\textrm{ or }\ddot\rho=-\frac{C^2}{\rho^2}\frac{\textrm d^2}{\textrm d\phi^2}(\frac{1}{\rho})}\)
et \(\displaystyle{\dot\phi=\frac{C}{\rho^2}}\) d'après (1)
d'où
\(\displaystyle{\overrightarrow a=[-\frac{C^2}{\rho^2}\frac{\textrm d^2}{\textrm d\phi^2}(\frac{1}{\rho})-\rho\frac{C^2}{\rho^4}]\overrightarrow u_\rho}\)
soit encore
\(\displaystyle{\overrightarrow a=-\frac{C^2}{\rho^2}[\frac{\textrm d^2}{\textrm d\phi^2}(\frac{1}{\rho})+(\frac{1}{\rho})]\overrightarrow u_\rho}\)