Cinématique dans l'espace temps
Partie
Question
Calculs de vitesse et d'accélération (*)
Un point\( M\) se déplace sur une courbe gauche de telle sorte que ses coordonnées sont :
\(x = \textrm{e}^{-t} \cos t\)
\(y = \textrm e^{-t} \sin t\)
\(z = \textrm e^{-t}\)
Calculer la vitesse et l'accélération de \(M\) à l'instant t ainsi que leurs normes.
Aide simple
Utiliser la dérivation de fonctions composées
Appliquer la définition de la norme d'un vecteur
Solution détaillée
Vecteur vitesse : Ses composantes sont les dérivées par rapport au temps , \(x', y' , z'\)
\(\displaystyle{x'=-\textrm e^{-t}(\cos t+\sin t)}\)
\(\displaystyle{y'=-\textrm e^{-t}(\sin t-\cos t)}\)
\(\displaystyle{z'=-\textrm e^{-t}}\)
Vecteur accélération : Ses composantes sont \(x'', y'', z''\)
\(\displaystyle{x''=2\textrm e^{-t}\sin t}\)
\(\displaystyle{y''=-2\textrm e^{-t}\cos t}\)
\(\displaystyle{z''=\textrm e^{-t}}\)
On en déduit immédiatement \(\displaystyle{\vert\vert\overrightarrow v\vert\vert=\sqrt3\textrm e^{-t}\textrm{ et }\vert\vert\overrightarrow\gamma\vert\vert=\sqrt{5}\textrm e^{-t}}\)