Cinématique dans l'espace temps
Partie
Question
Base intrinsèque en fonction du temps (**)
Soit la trajectoire dont les équations paramétriques sont:
\(\displaystyle{x=t\quad y=\frac{t^2}{2}\quad z=t}\)
Calculer:
le vecteur unitaire \(\displaystyle{\overrightarrow\tau}\)porté par la tangente,
le rayon de courbure \(R\),
la courbure \(k\) de cette trajectoire
le vecteur unitaire \(\displaystyle{\overrightarrow n}\) porté par la normale principale.
Aide simple
Appliquer la dérivation composée pour chaque composante d'un vecteur Utiliser les définitions de la base de Serret-Frenet
Solution détaillée
Ecrivons le rayon vecteur :
\(\displaystyle{\overrightarrow r=t\overrightarrow i+\frac{t^2}{2}\overrightarrow j+t\overrightarrow k}\)
l'expression de la vitesse s'en déduit par dérivation
\(\displaystyle{\overrightarrow v=\overrightarrow i+t\overrightarrow j+\overrightarrow k}\)
et en appelant \(v\) la norme de la vitesse; \(\displaystyle{\overrightarrow\tau}\) le vecteur unitaire porté par la tangente , \(\displaystyle{\overrightarrow v=v\overrightarrow\tau}\) comme \(\displaystyle{v=\sqrt{2+t^2}}\) , on trouve:
\(\displaystyle{\overrightarrow\tau=\frac{\overrightarrow v}{v}=\frac{1}{\sqrt{2+t^2}}(\overrightarrow i+t\overrightarrow j+\overrightarrow k)}\)
On a montré dans le cours que \(\displaystyle{\frac{\textrm d{\overrightarrow\tau}}{\textrm{ds}}=k\overrightarrow n}\) où \(s\) est l'abscisse curviligne, \(k\) la courbure et \(\displaystyle{\overrightarrow n}\)le vecteur unitaire porté par la normale principale, sachant que \(\displaystyle{\overrightarrow v=v\overrightarrow\tau}\) nous pouvons écrire:
\(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow{\tau}}{\textrm{dt}}=\frac{\textrm d\overrightarrow{\tau}}{\textrm{ds}}\frac{\textrm ds}{\textrm{dt}}}\)
soit
\(\begin{array}{rcl}\frac{\textrm d\overrightarrow\tau}{\textrm{ds}}=\frac{1}{v}\frac{\textrm d\overrightarrow\tau}{\textrm{dt}}&=&\frac{1}{\sqrt{2+t^2}}[\overrightarrow j\frac{1}{\sqrt{2+t^2}}+(\overrightarrow i+t\overrightarrow j+\overrightarrow k)\frac{-t}{(2+t^2)^{3/2}}]\\&=&\frac{1}{(2+t^2)^2}(-t\overrightarrow i+2\overrightarrow j-t\overrightarrow k)=k\overrightarrow n\\&=&\frac{1}{(2+t^2)^2}(-t\overrightarrow i+2\overrightarrow j-t\overrightarrow k)=k\overrightarrow n\end{array}\)
Comme \(\displaystyle{\overrightarrow n}\) est un vecteur unitaire, on trouve
\(\displaystyle{k=\vert\vert\frac{\textrm d\overrightarrow\tau}{\textrm{dt}}\vert\vert=\frac{\sqrt2}{(2+t^2)^{3/2}}\textrm{ et }R=\frac{1}{k}=\frac{(2+t^2)^{3/2}}{\sqrt2}}\)
soit finalement
\(\displaystyle{\overrightarrow n=-t\overrightarrow i+2\overrightarrow j-t\overrightarrow k\frac{1}{\sqrt{4+2t^2}}}\)