Cinématique dans l'espace temps
Partie
Question
Base intrinsèque dans le plan (*)
Soit un cercle (\(O, R\)) et \(M\) un point de ce cercle repéré par l'angle (\(\displaystyle{\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OM}=\theta}\))
Soit le vecteur unitaire \(\displaystyle{\overrightarrow\tau}\), porté par la tangente en \(M\) et orienté dans le sens trigonométrique. Montrer que \(\displaystyle{\frac{\textrm d{\overrightarrow\tau}}{\textrm d\theta}=\overrightarrow n}\)
Aide simple
Utiliser la dérivation par rapport à une variable de rotation
Utiliser les définitions de la base de Serret-Frenet dans le plan
Solution détaillée
Sur \(\displaystyle{\overrightarrow{OM}}\) le vecteur unitaire est
\(\displaystyle{\overrightarrow u_r=\cos\theta\overrightarrow i+\sin\theta\overrightarrow k}\)
Le vecteur unitaire \(\displaystyle{\overrightarrow\tau}\) tangent au cercle en \(M\) se déduit de \(\displaystyle{\overrightarrow{u_r}}\) en changeant \(\theta\) en \(\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{\overrightarrow\tau=\cos(\theta+\frac{\pi}{2})\overrightarrow i+\sin(\theta+\frac{\pi}{2})\overrightarrow k=-\sin\theta\overrightarrow i+\cos\theta\overrightarrow k}\)
et le vecteur obtenu par dérivation de \(\overrightarrow\tau\) par rapport à \(\theta\) est :
\(\frac{\textrm d\overrightarrow\tau}{\textrm{d}\theta}=\frac{d(-\sin\theta\overrightarrow i+\cos\theta\overrightarrow k)}{\textrm{d}\theta}=-\cos\theta\overrightarrow i-\sin\theta\overrightarrow k\)
ou enfin
\(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow\tau}{\textrm d\theta}=-(\cos\theta\overrightarrow i+\sin\theta\overrightarrow k)=-\overrightarrow u_r=\overrightarrow n}\)