Problèmes de Synthèse

Partie

Question

Mouvements dans un champ newtonien (Partie A: Etude générale) (*)

Soit un référentiel galiléen \(\mathcal G\) , d'origine \(O\).Une particule, de masse \(m\), assimilée à un point matériel, est animée, par rapport à \(G\), d'une vitesse \(\overrightarrow v\) et subit uniquement la force d'attraction universelle

\(\displaystyle{\overrightarrow F=\frac{-k}{\rho^2}\overrightarrow u_\rho}\) où k est une constante positive.

Soit\( \overrightarrow\rho\) le vecteur position de la particule dont la norme est notée \(\rho\) et \(\overrightarrow u_\rho\) le vecteur unitaire attaché.

  1. Montrer que le moment cinétique\( \overrightarrow\rho\) de la particule par rapport à \(O\) est constant. On prendra pour direction \(O_z\) la direction constante du moment cinétique que l'on pourra donc écrire : \(\displaystyle{\overrightarrow\sigma=\sigma\overrightarrow k}\) , avec \(\sigma > 0\). En déduire que ce mouvement s'effectue dans un plan que l'on précisera. Exprimer \(\overrightarrow\sigma\) dans la base cylindrique.

  2. Exprimer l'aire \(\textrm dS\) balayée par le rayon vecteur pendant l'intervalle de temps dt. Enoncer la loi des aires et donner l'expression de la constante des aires C en fonction de \(m\) et \(\sigma\) .

  3. La force \(\overrightarrow F\) dérive d'une énergie potentielle \(E_p\). Quelle est la relation entre ces deux grandeurs ? Exprimer la variation \(\displaystyle{E_p(\rho)-E_p(\infty)}\) .

  4. a) Définir l'énergie mécanique \(E\) de la particule. Elle est constante au cours du mouvement. Dire pourquoi.

    b) Les conditions initiales du mouvement sont :

    \(\displaystyle{t=0,\rho=\rho_0,\Phi=0,\vert\vert\overrightarrow v_0\vert\vert=v_0,(\overrightarrow\rho,\overrightarrow v_0)=\beta_0}\)

    Exprimer\( \overrightarrow\sigma, C \textrm{ et }E\) en fonction de\( \rho_0 , v_0 , \beta_0\) et des données du problème.

Aide simple

On note\( \displaystyle{\overrightarrow\rho=\overrightarrow{OM}}\); la base cylindrique est\( (\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\Phi,\overrightarrow k)\)

  • La constante des aires est \(\displaystyle{C=\frac{1}{2}\rho^2\frac{\textrm d\Phi}{\textrm dt}}\)

  • \(\overrightarrow F\) dérive d'une énergie potentielle \(E_p\) selon \(\overrightarrow F=-\overrightarrow{\textrm{grad}}\;E_p\)

Solution détaillée

  1. Le vecteur moment cinétique est constant si et seulement si\( \displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow\sigma}{\textrm dt}=0}\) .

    On dérive \(\overrightarrow\sigma\) donc par rapport au temps :\( \displaystyle{\overrightarrow\sigma=\overrightarrow\rho\wedge\overrightarrow p}\) , soit

    \(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow\sigma}{\textrm dt}=\frac{\textrm d(\overrightarrow\rho\wedge\overrightarrow p)}{\textrm dt}=\frac{\textrm d\overrightarrow\rho}{\textrm dt}\wedge m\overrightarrow v+\overrightarrow\rho\wedge\frac{\textrm d\overrightarrow p}{\textrm dt}=0}\)

    en raison de produits vectoriels de vecteurs colinéaires. Le vecteur moment cinétique est donc constant, ce qui entraine que la trajectoire est toujours dans le plan qui lui est perpendiculaire et contient les vecteurs position et vitesse. On peut poser \(\displaystyle{\overrightarrow\sigma=\sigma\overrightarrow k}\) .

    Expression de \(\sigma\) :

    Si \(\displaystyle{\overrightarrow\sigma=\sigma\overrightarrow u_\rho}\), alors

    \(\displaystyle{\overrightarrow v=\rho'\overrightarrow u_\rho+\rho\Phi'\overrightarrow u_\Phi}\)

    \(\displaystyle{\overrightarrow\sigma=m\rho\overrightarrow u_\rho\wedge(\rho'\overrightarrow u_\rho+\rho\Phi'\overrightarrow u_\Phi)}\)

    ce qui donne

    \(\displaystyle{\overrightarrow\sigma=m\rho^2\Phi'\overrightarrow k}\)

  2. Pour l'intervalle de temps \(\textrm dt\), l'aire balayée \(\displaystyle{\textrm dS=\frac{1}{2}\vert\vert(\overrightarrow\rho\wedge\textrm d\overrightarrow\rho)\vert\vert}\) , ce qui donne

    en remplaçant \(\textrm d\overrightarrow\rho\) par sa valeur et en effectuant :

    \(\displaystyle{\frac{\textrm dS}{\textrm dt}=\frac{1}{2}\rho^2\Phi"}\)

     Par suite, la constante des aires est \(C=\rho^2\Phi'=\frac{\sigma}{2m}\).

  3. La force \(\overrightarrow F\) dérive d'une énergie potentielle ; on a donc par définition:

    \(\displaystyle{\overrightarrow F=-\overrightarrow{\textrm{grad}}\;E_p=-\frac{k}{\rho^2}\overrightarrow u_\rho}\)

    Le calcul de la variation d'énergie potentielle s'obtient en faisant travailler l'opposé \((- \overrightarrow F)\) de la force \(\overrightarrow F\) , depuis l'infini (soit le point où le travail serait nul car la force d'interaction y est nulle) au point courant \(M\) situé à la position\(\rho\) :

    \(\displaystyle{E_p(\rho)-E_p(\infty)=\int_\infty^\rho\frac{k}{\rho^2}\overrightarrow u_\rho\cdot\textrm d\rho\overrightarrow u_\rho=\int_\infty^\rho\frac{k}{\rho^2}\textrm d\rho=\frac{k}{\rho}}\)

    \(\displaystyle{E_p(\rho)-E_p(\infty)=\frac{k}{\rho}}\)

  4. a) L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle :

    \(\displaystyle{E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{k}{\rho}}\)

    Elle est constante car la masse dans son champ de forces constitue un système isolé.

    b) En fonction des données \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\overrightarrow\sigma&=&m\rho_0v_0\sin\beta_0\overrightarrow k\\C&=&r_0v_0\sin\beta_0\\E&=&\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{k}{\rho_0}\end{array}}\)