Problèmes de Synthèse

Partie

Question

Mécanique d'une force de tension élastique (*)

Un mobile \(M\) assimilé à un point matériel de masse \(m\) est accroché à un fil élastique fixé en un point \(O\), origine d'un référentiel galiléen Oxyz. La seule force qui agit sur \(M\), due au fil tendu, est de la forme :

\(\displaystyle{\overrightarrow f=-K\overrightarrow r=-K\overrightarrow{OM}}\)

avec \(K\) constante positive. A l'instant\( t = 0\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OM}=r_0\overrightarrow i}\)

et la vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow v=v_0\overrightarrow j}\).

  1. Démontrer que le mouvement s'effectue dans le plan xOy et qu'il obéit à la loi des aires.

  2. \(M\) étant repéré par ses coordonnées polaires planes \(r \textrm{ et }\theta\), en déduire le système d'équations régissant le mouvement dans la base \((\overrightarrow u_r,\overrightarrow u_\theta)\) .

    Montrer que l'une des deux équations conduit à la loi des aires.

  3. \(M\) étant maintenant repéré par ses coordonnées cartésiennes \(x \textrm{ et }y\), écrire la relation fondamentale de la dynamique dans la base \((\overrightarrow i,\overrightarrow j)\) et intégrer le système pour obtenir \(x(t) et y(t)\).

    Montrer que la trajectoire est une ellipse dont on déterminera les paramètres.

  4. Calculer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle et montrer que l'énergie totale est constante.

Aide simple

  1. Utiliser le théorème du moment cinétique

  2. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans la base \((\overrightarrow u_r,\overrightarrow u_\theta)\)

  3. Les équations de l'ellipse sont données sous forme paramétrique par

    • en coordonnées cartésiennes :\( \displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0}\)

    • en coordonnées polaires :\( \displaystyle{r=\frac{p}{1+\textrm{e }\cos\theta}}\)

Solution détaillée

  1. Le moment cinétique est par définition le moment de la quantité de mouvement :

    \(\displaystyle{\overrightarrow{\sigma/0}=\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow V}\)

    Le théorème du moment cinétique s'écrit sous forme vectorielle :

    \(\displaystyle{\frac{\textrm d}{\textrm{dt}}[\overrightarrow{\sigma/0}]=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow f}\)

    Appliqué à la force de rappel élastique :

     \(\displaystyle{\frac{\textrm d}{\textrm{dt}}[\overrightarrow{\sigma/0}]=\overrightarrow r\wedge-K\overrightarrow r=\overrightarrow0}\)

    Par suite,\( \displaystyle{\overrightarrow{\sigma/0}=\overrightarrow{OM}\wedge\textrm m\overrightarrow V=\overrightarrow C}\) est un vecteur constant. Le mouvement, déterminé par \(\overrightarrow{OM}(t)\) , s'effectue dans un plan fixe orthogonal à ce vecteur. Puisque pour\( \displaystyle{t=0,\overrightarrow{OM}=r_0\overrightarrow i\textrm{ et }\overrightarrow v=v_0\overrightarrow j}\) le mouvement s'effectue dans le plan \(xOy\) et :

    \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\overrightarrow{\sigma/0}&=&r_0\overrightarrow i\wedge\textrm mv_0\overrightarrow j\\&=&\textrm mr_0v_0\overrightarrow i\wedge\overrightarrow j=\textrm mr_0v_0\overrightarrow k=\overrightarrow C\end{array}}\)

    La loi des aires selon laquelle " les aires balayées par le rayon vecteur \(\overrightarrow r\) pendant des durées égales sont égales" se traduit simplement par :

    \(\displaystyle{\frac{\textrm dS}{\textrm{dt}}=\textrm{vitesse aréolaire}=\textrm{Constante}}\)

    La vitesse aréolaire est comptée positivement si le mouvement s'effectue dans le sens direct. Pendant le temps dt, le rayon vecteur se déplace de

    \(\displaystyle{\textrm d\overrightarrow r=\frac{\textrm d\overrightarrow r}{\textrm{dt}}\textrm{dt}=\overrightarrow v\textrm{dt}}\)

    l'aire balayée \(\textrm dS\) est mesurée par :

    \(\displaystyle{\frac{1}{2}\vert\vert\overrightarrow r\wedge\textrm d\overrightarrow r\vert\vert=\frac{1}{2}\vert\vert\overrightarrow r\wedge\overrightarrow v\vert\vert\textrm{dt}\quad\textrm{dt}>0}\)

    On a donc :

    \(\displaystyle{\frac{\textrm dS}{\textrm{dt}}=\frac{1}{2}\vert\vert\overrightarrow r\wedge\overrightarrow v\vert\vert}\)

    mais d'après le résultat précédent :

    \(\displaystyle{\overrightarrow r\wedge\overrightarrow v=\frac{\overrightarrow C}{\textrm m}=r_0v_0\overrightarrow k}\)

    alors, \(\displaystyle{\frac{\textrm dS}{\textrm{dt}}=\frac{1}{2}r_0v_0}\)

    Le mouvement obéit donc à la loi des aires.

  2. \(M\) est repéré par ses coordonnées polaires planes\( r\textrm{ et }\theta\) on a :

    \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\overrightarrow{OM}&=&r\overrightarrow u_r,\overrightarrow v=r'\overrightarrow u_r+r\theta'\overrightarrow u_\theta\\\overrightarrow\gamma&=&(r"-r\theta^{'2})\overrightarrow u_r+(2r'\theta'+r\theta")\overrightarrow u_\theta\end{array}}\)

    La relation fondamentale de la dynamique exprimée sur ces axes donne le système différentiel demandé :

    \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\textrm m(r"-r\theta^{'2})&=&K_r\textrm{ }(1)\\\textrm m(2r'\theta'+r\theta")&=&0\textrm{ }(2)\end{array}}\)

    En multipliant (2) par \(r\) on a :

    \(\displaystyle{2rr'\theta'+r^2\theta"=\frac{\textrm d}{\textrm{dt}}(r^2\theta')=0\Rightarrow r^2\theta'=\textrm{Cte}}\)

    C'est la loi des aires. En effet :

    \(\displaystyle{\frac{\textrm{d}S}{\textrm{dt}}=\frac{1}{2}\vert\vert\overrightarrow r\wedge\overrightarrow v\vert\vert=\frac{1}{2}\vert\vert r\overrightarrow u_r\wedge(r'\overrightarrow u_r\wedge+r\theta'\overrightarrow u_\theta)\vert\vert=\frac{1}{2}\vert\vert r^2\theta'\overrightarrow k\vert\vert}\)

  3. \(M\) étant repéré par ses coordonnées cartésiennes \(x \textrm{ et }y\) la relation fondamentale de la dynamique dans la base\( (\overrightarrow i,\overrightarrow j)\) est simplement :

    \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}mx"&=&fx=-K_r\frac{x}{r}=-K_x\\my"&=&fy=-K_r\frac{y}{r}=-K_y\end{array}}\)

    Le système d'équations devient donc

    \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}mx"+K_x&=&0\textrm{ }(3)\\my"+K_y&=&0\textrm{ }(4)\end{array}}\)

    avec à\( t = 0\;\overrightarrow{OM}=r_0\overrightarrow i\textrm{ et }\overrightarrow v=v_0\overrightarrow j\) , ce qui conduit en posant  \(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{K}{m}}}\) : à

    \(\displaystyle{x=a\cos(\omega t+\Phi)\textrm{ avec }x(0)=r_0\textrm{ et }x'(0)}\)

    soit : \(x = r_0 \cos (\omega t)\) et à :

    \(\displaystyle{y=b\sin(\omega t+\phi)\textrm{ avec }y(0)=0\textrm{ et }y'(0)=v_0}\)

    soit :\( \displaystyle{y=\frac{-v_0}{\omega.\sin(\omega t)}}\)

    L'équation de l'ellipse s'obtient en calculant \(\cos^2(\omega t) + \sin^ 2(\omega t) = 1\) soit ici,

    \(\displaystyle{\frac{x^2}{r_0^2}+\frac{\omega^2y^2}{v_0^2}=1}\)

  4. Calcul de l'énergie potentielle : on a vu que :

    \(\displaystyle{\textrm dU=-\overrightarrow f\cdot\textrm d\overrightarrow r=-K_r\overrightarrow u_r\cdot\textrm d\overrightarrow r}\)

    avec :

    \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\textrm d\overrightarrow r&=&\frac{\textrm d\overrightarrow r}{\textrm{dt}}\textrm{dt}=\overrightarrow v\textrm{dt}\\\textrm dU&=&-K_r\overrightarrow u_r\cdot\overrightarrow v\textrm{dt}\end{array}}\)

    Calcul de l'énergie cinétique :

    \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}T=\frac{1}{2}\textrm{m}\overrightarrow{\textrm v}^2\Rightarrow\textrm dT&=&\textrm m\overrightarrow\textrm v\cdot\textrm d\overrightarrow\textrm v=\textrm m\overrightarrow v\cdot\frac{\textrm d\overrightarrow\textrm v}{\textrm{dt}}\textrm{dt}\\&=&\textrm m\overrightarrow v\cdot\overrightarrow\gamma\textrm{dt}=\textrm m\overrightarrow v\cdot\frac{\overrightarrow f}{\textrm m}\textrm{dt}\\\textrm dT&=&\overrightarrow v\cdot-K_r\overrightarrow u_r\textrm{dt}=-K_r\overrightarrow u_r\cdot\overrightarrow v\textrm{dt}\end{array}}\)

    Donc :

    \(\displaystyle{\textrm dU+\textrm dT=\textrm d(U+T)=0\Rightarrow U+T=\textrm{Cte}=E_0}\)

    L'énergie totale est conservée.