Equation de Newton
Partie
Question
On veut obtenir d'un petit objet plan \(AB\), à l'aide d'un objectif d'appareil photographique, une image dont la distance au plan focal image ne dépasse pas le centième de la distance focale image \(f '\).
Donner les positions acceptables de l'objet pour \(f ' = 28 \textrm{mm}\).
Utiliser l'équation de Newton
Aide simple
L'équation de Newton \(\overline{FA}.\overline{F'A'}=-f'^2\), valide dans les conditions de GAUSS pour tout système optique centré et tout couple de points conjugués \(A\) et \(A'\) de l'axe permet de déterminer la position \(\overline{FA}\) de l'objet, connaissant la position \(\overline{F'A'}\) de l'image et la distance focale image \(f'=\overline{H'F'}\).
Rappel de cours
Relation de Lagrange-Helmholtz entre l'objet \(AB\) et son image \(A'B'\) :
\(n\overline{AB}u=n'\overline{A'B'}u'\)
Les plans principaux sont deux plans de front conjugués : le plan principal objet et le plan principal image pour lesquels le grandissement linéaire (ou transversal) est égal à +1.
Relation entre les distances focales objet \(f\) et image \(f'\) :
\(\frac{f'}{f}=-\frac{n'}n\)
La vergence d'un système centré sera défini par :
\(V=\frac{n'}{f'}=-\frac nf\)
Construction de l'image d'un objet plan. On utilisera 2 rayons particuliers :
l'un issu de \(B\) et parallèle à l'axe optique : il émerge après le plan principal image en passant par le foyer image \(F'\)
l'autre issu de \(B\) et passant par le foyer objet \(F\) : il émerge après le plan principal image, parallèle à l'axe optique
Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque. On utilisera les mêmes rayons particuliers que ceux qui ont servi à construire l'image d'un objet \(AB\).
Formules de conjugaison :
Origine aux points principaux :
si : \(\overline{HA}=p\) et \(\overline{H'A'}=p'\) : \(\frac fp+\frac{f'}{p'}=1\) \(\frac{n'}{p'}-\frac np=\frac{n'}{f'}=C\) avec C vergence du système.
Origine aux foyers: formules de Newton :
si \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\) : \(\begin{array}{l}x\cdot x'=f\cdot f'\\\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=-\frac fx=-\frac{x'}{f'}\end{array}\)
grandissement angulaire : \(G=\frac{u'}u=\frac n{n'}\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\)
produit du grandissement linéaire par le grandissement angulaire : \(\gamma\cdot G=\frac n{n'}\)
Les plans antiprincipaux sont deux plans conjugués entre lesquels le grandissement est égal à -1. Ce sont les symétriques des plans principaux par rapport aux foyers correspondants (de même pour les plans antiprincipaux).
Les points nodaux \(N\) et \(N'\) sont deux points conjugués, situés sur l'axe, et tels qu'à tout rayon incident passant par le point nodal objet, corresponde un rayon émergent passant par le point nodal image et parallèle au rayon incident.
Les éléments cardinaux d'un système centré comportent: les foyers, les points principaux et antiprincipaux, les points nodaux et antinodaux.
Lorsque pour un système centré donné on connaît deux couples d'éléments cardinaux ou un couple et une distance focale alors le système centré est parfaitement défini.
Solution détaillée
Plus l'objet \(AB\) s'éloigne de l'axe, plus l'image \(A'B'\) se rapproche du plan focal image.
\(\overline{FA}=-\frac{f'^2}{\overline{F'A'}}\) et \(|\overline{F'A'}|\le f'/100\)
d'où : \(|\overline{FA}|=\left|\frac{-f'^2}{\overline{F'A'}}\right|=\left|-f'^2*\frac{100}{f'}\right|\)
\(|\overline{FA}|\ge100\cdot|f'|\ge2,8\textrm m\)
L'objet réel photographie doit être situé à une distance minimum de 2,80 m du foyer objet de l'objectif.