Foyers et plans principaux

Partie

Question

Déterminer géométriquement la position du foyer principal image \(F'\) et du plan principal image \((P')\) d'un oculaire de RAMSDEN composé de deux lentilles supposées infiniment minces identiques \(L_1\), \(L_2\) de centre \(O_1\), \(O_2\) distantes de \(e=\frac2{3}f'_1=\frac2{3}f'_2\).

Vérifier la nature convergente de cet oculaire.

A quoi correspond le foyer principal image d'un système optique centré.

Aide simple
  1. Prendre une règle graduée, un crayon, une gomme et du papier quadrillé.

  2. Le foyer principal image d'un système optique centré est le point image d'un point de l'axe infiniment éloigné du système.

Le plan principal image (P') est l'ensemble des intersections des supports de rayons incidents parallèles à l'axe avec le support des rayons transmis correspondant.

Aide détaillée

Par définition, le foyer principal image d'un système est l'image par ce système d'un point de l'axe infiniment éloigné. L'image par le doublet de lentille de l'oculaire de RAMSDEN est donc l'image par la 2ème lentille du foyer image \(F'_1\) de la 1ère lentille.

Rappel de cours

Relation de Lagrange-Helmholtz entre l'objet \(AB\) et son image \(A'B'\) :

\(n\overline{AB}u=n'\overline{A'B'}u'\)

Les plans principaux sont deux plans de front conjugués : le plan principal objet et le plan principal image pour lesquels le grandissement linéaire (ou transversal) est égal à +1.

Relation entre les distances focales objet \(f\) et image \(f'\) :

\(\frac{f'}{f}=-\frac{n'}n\)

La vergence d'un système centré sera défini par :

\(V=\frac{n'}{f'}=-\frac nf\)

Construction de l'image d'un objet plan. On utilisera 2 rayons particuliers :

  • l'un issu de \(B\) et parallèle à l'axe optique : il émerge après le plan principal image en passant par le foyer image \(F'\)

  • l'autre issu de \(B\) et passant par le foyer objet \(F\) : il émerge après le plan principal image, parallèle à l'axe optique

Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque. On utilisera les mêmes rayons particuliers que ceux qui ont servi à construire l'image d'un objet \(AB\).

Formules de conjugaison :

Origine aux points principaux :

si : \(\overline{HA}=p\) et \(\overline{H'A'}=p'\) : \(\frac fp+\frac{f'}{p'}=1\) \(\frac{n'}{p'}-\frac np=\frac{n'}{f'}=C\) avec C vergence du système.

Origine aux foyers: formules de Newton :

si \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\) : \(\begin{array}{l}x\cdot x'=f\cdot f'\\\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=-\frac fx=-\frac{x'}{f'}\end{array}\)

grandissement angulaire : \(G=\frac{u'}u=\frac n{n'}\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\)

produit du grandissement linéaire par le grandissement angulaire : \(\gamma\cdot G=\frac n{n'}\)

Les plans antiprincipaux sont deux plans conjugués entre lesquels le grandissement est égal à -1. Ce sont les symétriques des plans principaux par rapport aux foyers correspondants (de même pour les plans antiprincipaux).

Les points nodaux \(N\) et \(N'\) sont deux points conjugués, situés sur l'axe, et tels qu'à tout rayon incident passant par le point nodal objet, corresponde un rayon émergent passant par le point nodal image et parallèle au rayon incident.

Les éléments cardinaux d'un système centré comportent: les foyers, les points principaux et antiprincipaux, les points nodaux et antinodaux.

Lorsque pour un système centré donné on connaît deux couples d'éléments cardinaux ou un couple et une distance focale alors le système centré est parfaitement défini.

Solution détaillée

Tout rayon issu d'un point de l'axe infiniment éloigné \(A\) arrive sur la première lentille \(L_1\) parallèlement à l'axe. Le rayon \(AI\) est dévié selon \(IF'_1\) par \(L_1\). Les rayons parallèles \(I'O_2\) et \(IF'_1\) peuvent être considérés comme issus d'un même point à l'infini. Les rayons conjugués, par \(L_2\), de ces rayons parallèles se dirigent vers l'image par \(L_2\) du point infiniment éloigné correspondant.

Ce point image est en \(F'_{2s}\), à l'intersection du plan focal image de \(L_2\) avec le rayon parallèle \(I'O_2\) non dévié.

Le rayon émergent de \(L_2\) passe par \(J\) et \(F'_{2s}\). Le point image \(K'\), à l'intersection de l'émergent \(JF'_{2s}\) et du prolongement du rayon incident \(AI\), est à même distance de l'axe que tous les points objets du rayon incident \(AI\). Ce point appartient par définition au plan principal image \((P')\) de l'oculaire. \(H'F'\) est positif. Cet oculaire est donc convergent.

\(I'O_2\) nous donne en \(F '_{2s}\) l'image du point à l'infini dans la direction \(IJ\). C'est-à-dire la direction de l'émergent de la lentille \(L_2\) au point \(J\).