Points cardinaux : points principaux
Partie
Question
Parmi les points cardinaux ci-après, quels sont ceux qui ne sont pas des points conjugués ?
foyers principaux objet et image.
points principaux objet et image.
Quelle est une propriété commune de ces paires de points ?
Quand dit-on que deux points sont conjugués?
Aide simple
Deux points sont conjugués par un système optique si l'un est l'image de l'autre par le système.
Rappel de cours
Relation de Lagrange-Helmholtz entre l'objet \(AB\) et son image \(A'B'\) :
\(n\overline{AB}u=n'\overline{A'B'}u'\)
Les plans principaux sont deux plans de front conjugués : le plan principal objet et le plan principal image pour lesquels le grandissement linéaire (ou transversal) est égal à +1.
Relation entre les distances focales objet \(f\) et image \(f'\) :
\(\frac{f'}{f}=-\frac{n'}n\)
La vergence d'un système centré sera défini par :
\(V=\frac{n'}{f'}=-\frac nf\)
Construction de l'image d'un objet plan. On utilisera 2 rayons particuliers :
l'un issu de \(B\) et parallèle à l'axe optique : il émerge après le plan principal image en passant par le foyer image \(F'\)
l'autre issu de \(B\) et passant par le foyer objet \(F\) : il émerge après le plan principal image, parallèle à l'axe optique
Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque. On utilisera les mêmes rayons particuliers que ceux qui ont servi à construire l'image d'un objet \(AB\).
Formules de conjugaison :
Origine aux points principaux :
si : \(\overline{HA}=p\) et \(\overline{H'A'}=p'\) : \(\frac fp+\frac{f'}{p'}=1\) \(\frac{n'}{p'}-\frac np=\frac{n'}{f'}=C\) avec C vergence du système.
Origine aux foyers: formules de Newton :
si \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\) : \(\begin{array}{l}x\cdot x'=f\cdot f'\\\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=-\frac fx=-\frac{x'}{f'}\end{array}\)
grandissement angulaire : \(G=\frac{u'}u=\frac n{n'}\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\)
produit du grandissement linéaire par le grandissement angulaire : \(\gamma\cdot G=\frac n{n'}\)
Les plans antiprincipaux sont deux plans conjugués entre lesquels le grandissement est égal à -1. Ce sont les symétriques des plans principaux par rapport aux foyers correspondants (de même pour les plans antiprincipaux).
Les points nodaux \(N\) et \(N'\) sont deux points conjugués, situés sur l'axe, et tels qu'à tout rayon incident passant par le point nodal objet, corresponde un rayon émergent passant par le point nodal image et parallèle au rayon incident.
Les éléments cardinaux d'un système centré comportent: les foyers, les points principaux et antiprincipaux, les points nodaux et antinodaux.
Lorsque pour un système centré donné on connaît deux couples d'éléments cardinaux ou un couple et une distance focale alors le système centré est parfaitement défini.
Solution détaillée
Le schéma (fig. 1 ou 2) montre que les foyers ne sont pas des points conjugués.
En effet, tous les rayons incidents, dont les trajectoires (ou leurs prolongements) passent par le foyer principal objet \(F\) (sur l'axe), donnent des rayons émergents parallèles à l'axe. L'image du foyer objet est toujours à l'infini. L'antécédent du foyer image principal \(F'\) n'est pas le foyer objet mais un point à l'infini.
Les points principaux (Fig. 2) sont les intersections de l'axe avec les plans principaux. Tout couple de points situés à la même distance \(d\) de l'axe (ici \(d=0\)) et qui appartiennent aux plans principaux, \(H\) et \(H'\) sont conjugués.
Une propriété commune de ces paires de points est leur dualité fonctionnelle :
Lorsque l'on inverse le sens de propagation de la lumière :
Le foyer image devient foyer objet ,
Le plan principal image devient plan principal objet.
NB : Quelle que soit la position des dioptres d'entrée et de sortie du système, le point objet du rayon incident et le point image conjugué du rayon émergent sont à la même distance de l'axe s'ils appartiennent respectivement au plan principal objet \((P)\) et au plan principal image \((P')\).