Points cardinaux : points nodaux

Partie

Question

Parmi les points cardinaux ci-après, quels sont ceux qui ne sont pas des points conjugués ?

  • foyers principaux objet et image.

  • points nodaux objet et image.

Quelle est une propriété commune de ces paires de points ?

Quand dit-on que 2 points sont conjugués?

Aide simple

Deux points sont conjugués par un système optique si l'un est l'image de l'autre par le système.

Rappel de cours

Relation de Lagrange-Helmholtz entre l'objet \(AB\) et son image \(A'B'\) :

\(n\overline{AB}u=n'\overline{A'B'}u'\)

Les plans principaux sont deux plans de front conjugués : le plan principal objet et le plan principal image pour lesquels le grandissement linéaire (ou transversal) est égal à +1.

Relation entre les distances focales objet \(f\) et image \(f'\) :

\(\frac{f'}{f}=-\frac{n'}n\)

La vergence d'un système centré sera défini par :

\(V=\frac{n'}{f'}=-\frac nf\)

Construction de l'image d'un objet plan. On utilisera 2 rayons particuliers :

  • l'un issu de \(B\) et parallèle à l'axe optique : il émerge après le plan principal image en passant par le foyer image \(F'\)

  • l'autre issu de \(B\) et passant par le foyer objet \(F\) : il émerge après le plan principal image, parallèle à l'axe optique

Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque. On utilisera les mêmes rayons particuliers que ceux qui ont servi à construire l'image d'un objet \(AB\).

Formules de conjugaison :

Origine aux points principaux :

si : \(\overline{HA}=p\) et \(\overline{H'A'}=p'\) : \(\frac fp+\frac{f'}{p'}=1\) \(\frac{n'}{p'}-\frac np=\frac{n'}{f'}=C\) avec C vergence du système.

Origine aux foyers: formules de Newton :

si \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\) : \(\begin{array}{l}x\cdot x'=f\cdot f'\\\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=-\frac fx=-\frac{x'}{f'}\end{array}\)

grandissement angulaire : \(G=\frac{u'}u=\frac n{n'}\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\)

produit du grandissement linéaire par le grandissement angulaire : \(\gamma\cdot G=\frac n{n'}\)

Les plans antiprincipaux sont deux plans conjugués entre lesquels le grandissement est égal à -1. Ce sont les symétriques des plans principaux par rapport aux foyers correspondants (de même pour les plans antiprincipaux).

Les points nodaux \(N\) et \(N'\) sont deux points conjugués, situés sur l'axe, et tels qu'à tout rayon incident passant par le point nodal objet, corresponde un rayon émergent passant par le point nodal image et parallèle au rayon incident.

Les éléments cardinaux d'un système centré comportent: les foyers, les points principaux et antiprincipaux, les points nodaux et antinodaux.

Lorsque pour un système centré donné on connaît deux couples d'éléments cardinaux ou un couple et une distance focale alors le système centré est parfaitement défini.

Solution détaillée

Le schéma (fig. 1 ou 2) montre que les foyers ne sont pas des points conjugués.

En effet, tous les rayons incidents, dont les trajectoires (ou leurs prolongements) passent par le foyer principal objet \(F\) (sur l'axe), donnent des rayons émergents parallèles à l'axe. L'image du foyer objet est toujours à l'infini. L'antécédent du foyer image principal \(F'\) n'est pas le foyer objet mais un point à l'infini.

Les points nodaux sont (fig. 2) deux points conjugués de l'axe tels que tout rayon incident dont la trajectoire (ou son prolongement) contient le point nodal objet \(N\), donne un rayon émergent dont la trajectoire est parallèle et contient le point nodal image \(N'\). Lorsque les milieux extrêmes sont identiques, les point nodaux \(N\) et \(N'\) sont respectivement confondus avec les points principaux \(H\) et \(H'\) (cas représenté Fig. 2).

Fig. 1
Fig. 2

Les rayons émergents conjugués des rayons issus d'un foyer (principal ou secondaire) sont toujours parallèles entre eux.

Une propriété commune de ces paires de points est leur dualité fonctionnelle :

Lorsque l'on inverse le sens de propagation de la lumière :

  • Le foyer image devient foyer objet ,

  • Le point nodal image devient point nodal objet.

NB : Parmi les rayons incidents, issu d'un point objet donné, seul le rayon dont le support passe par le point nodal objet \(N\) est parallèle aux rayons émergents.