Puissance n-ième
Définition :
On appelle puissance n-ième d'un nombre complexe \(\underline{z}\) le nombre complexe \(\underline{Z} = ( \underline{z} )^{n}\) .
L'utilisation de la forme polaire conduit, en posant \(\underline{z} = \rho e^{ j\theta}\) et \(\underline{Z} = R ~e^{j\phi}\), à :
\(\underline{Z}=\left(\underline{z}\right)^{n} \Leftrightarrow R e^{j \phi} = \left(\rho e^{j\theta}\right)^{n} = \rho^{n}e^{jn\phi}\)
soit par identification \(R = \rho^{n}\) et \(\phi = n\theta\) d'où
\(Z=\rho^{n}e^{j n \theta}\)
Théorème :
Sachant qu'un nombre complexe de module unité s'écrit \(\underline{z} = (\cos\theta + j \sin\theta) = e^{j\theta},\) l'élévation à la puissance \(n\) conduit à la Formule de MOIVRE
\(\left(\underline{z}\right)^{n} = \left(\cos\theta + j \sin\theta\right)^{n}= \left(e^{j\theta}\right)^{n} = e^{j n \theta}\) soit
\(\left(\cos\theta + j \sin\theta\right)^{n} = \cos n \theta + j \sin n \theta \quad \forall n \in \mathbb{Z}, \forall \theta \in \mathbb{R}\)
Exemple :
\(n = 2\)
\(( \cos \theta+ j \sin \theta)^{2} = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta + j 2\sin\theta \cos\theta = \cos 2 \theta + j \sin 2 \theta\)
\(n = -1\)
\(( \cos \theta + j \sin\theta )^{-1} =\frac{1}{\cos \theta + j \sin\theta}= \frac{\cos \theta - j \sin\theta}{1}= \cos(-\theta)+j \sin(-\theta)\)