Racine n-ième - Equations du second degré
Soit l'équation : \(a ~\underline{z}^{2} + b ~\underline{z} + c = 0\) d'inconnue \(\underline{z} \in \mathbb{C}\) avec \((a, b, c) \in \mathbb{C}^{\ast} \times \mathbb{C} \times \mathbb{C}\)
En utilisant la forme canonique du trinôme :
\(a \underline{z}^{2} + b \underline{z} + c = a \left[\left(\underline{z} + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}\right)\right]\)
et en notant \(\Delta = b^{2} - 4ac\) le discriminant du trinôme, nous obtenons :
deux racines distinctes si \(\Delta \ne 0\)
\(\underline{z}_{1} = \frac{-b - \delta}{2a} \textrm{ et } \underline{z}_{2} = \frac{-b + \delta}{2a}\)
où \(\pm \delta\) sont les racines carrées de \(\Delta\) dans \(\mathbb{C}\).
une racine double si \(\Delta = 0\)
\(\underline{z}_{1} = \underline{z}_{2} = - \frac{b}{2a}\)
Les racines vérifient :
\(\underline{z}_{1} + \underline{z}_{2} = - \frac{b}{a} \textrm{ et }\underline{z}_{1}\underline{z}_{2} = - \frac{c}{a}\)
Exemple :
Résoudre l'équation \(z^{2} - (1+3 j)~z + 2 j - 2 = 0\)
Cette équation admet pour discriminant :
\(\Delta = (1 + 3 j)^{2} - 4(2j - 2) = -2 j = (1-j)^{2}\)
Les racines sont donc distinctes car \(\Delta \ne 0\) et
\(\underline{z}_{1} = \frac{+(1+3j)-(1-j)}{2} = 2j\)
\(\underline{z}_{2} = \frac{+(1+3j)+(1-j)}{2} = 1+j\)
Remarque :
\(\underline{z}_{1} + \underline{z}_{2} = 1 + 3j = \frac{-b}{a}\)
\(\underline{z}_{1}~ \underline{z}_{2} = 2 j - 2 = \frac{c}{a}\)
Remarque :
si \((a, b, c) \in \mathbb{R}^{\ast} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) et \(\Delta < 0\) alors l'équation \(a ~\underline{z}^{2} + b \underline{z} + c = 0\) admet deux racines complexes conjuguées \(\underline{z}\) et \(\underline{z}^{\ast}\).
Exemple :
Résoudre l'équation \(\underline{z}^{2} + \underline{z} + 1 = 0\)
Cette équation admet pour discriminant :
\(\Delta = (1)^{2} - 4 =-3=3j^{2} = (j \sqrt{3})^{2} <0\)
Les racines sont complexes conjuguées :
\(\underline{z}_{1} = \frac{-1+j \sqrt{3}}{2}\) et \(\underline{z}_{2} = \frac{-1-j\sqrt{3}}{2}\)