Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

De la relation précédente \(\textrm{ch }3x = 4 \textrm{ch}^{3}x - 3 \textrm{ch }x\) nous tirons \(\textrm{ch}^{3}x\) d'où

\(f(x) = \textrm{sh}x\left[\frac{\textrm{ch }3x + 3\textrm{ch}x}{4}\right] = \frac{1}{4} (\textrm{sh}x\textrm{ ch}3x + 3 \textrm{sh}x \textrm{ ch}x)\)

sachant que :

\(\textrm{sh }x\textrm{ ch }3x = (\textrm{ sh }4x - \textrm{ sh }2x) / 2\) (1pt)

\(\textrm{sh }x \textrm{ ch }x = \textrm{sh}(2x) / 2\) (1pt)

nous en déduisons :

\(f(x) = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} \left(\textrm{sh}4x-\textrm{sh}2x\right) + \frac{3}{2} \textrm{sh}2x\right)\)

\(f(x) = \frac{1}{8} \left(\textrm{sh}4x + 2\textrm{sh}2x\right)\) (4pts)

Remarque :

on pouvait développer :

\(\begin{array}{ll}\textrm{sh}x \textrm{ ch}^{3}x &= \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\right)^{3} \\&=\frac{1}{8} \left(\frac{e^{4x}-e^{-4x}}{2} + 2\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\right) \\&=\frac{1}{8} \left(\textrm{sh}4x + 2\textrm{sh}2x\right)\end{array}\)

Si vous avez utilisé cette méthode, comptez (4pts)