Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

Réduisons au même dénominateur cette équation, d'où :

\(\textrm{ch}x + \textrm{sh}x = \frac{\textrm{ch}x - \textrm{sh}x}{\textrm{sh}x\textrm{ch}x}\)

Sachant que

\(\textrm{ch}x + \textrm{sh}x = e^{x}\)

\(\textrm{ch}x - \textrm{sh}x = e^{-x}\)

\(\textrm{sh}x\textrm{ch}x = \frac{1}{2} \textrm{sh}2x = \frac{1}{2} \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}\)

après substitution dans l'équation nous obtenons :

\(e^{x} = \frac{4e^{-x}}{e^{2x} - e^{-2x}}\Leftrightarrow e^{x} \left(e^{2x} - e^{-2x}\right) = 4e^{-x} \Leftrightarrow e^{2x} (e^{2x} - e^{-2x}) = 4\)

\(\Leftrightarrow e^{4x} - 1 = 4 \Leftrightarrow e^{4x} = 5\)

d'où \(4x = \ln 5\) et \(x = \ln5 / 4\) (4pts)