Équations différentielles du 1er ordre

La méthode de variation de la constante consiste à chercher la solution particulière sous la forme :

\(\color{blue}y_p = K(x) e^{-2x} ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

d'où \(y_p' = K'(x) e^{-2x} - 2 K(x) e^{-2x}\)

et : \(K'(x) e^{-2x} - 2 K(x) e^{-2x} + 2 K(x) e^{-2x} = x^2 + 3\)

\(\color{blue}K'(x) e^{-2x} = (x^2 + 3) e^{-2x} ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

Il en résulte que \(K(x)=\int(x^2+3)e^{2x}dx\) se calcule par deux intégrations par parties :

\(\color{blue}K(x) = e^{2x} [x^2/2 - x/2 + 7/4 ] ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

\(\Rightarrow \color{blue}y_p = K(x) e^{-2x} = (x^2/2) - (x/2) + 7/4 ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

La solution générale est donc :

\(\color{blue}y\color{black} = y_H + y_p = \color{blue}K e^{-2x} + (x^2/2) - (x/2) + 7/4 ~~\color{red}\text{(2 points)}\)