Question 2
Durée : 5 mn
Note maximale : 8
Question
Déterminer \(x(t)\) et \(x(\infty )\)dans le cas où \(a > b.\)
Solution
Cas : a > b
La décomosition de la fraction rationnelle conduit à :
\(\color{blue}\frac{dx}{(a-x)(b-x)}\color{black}=\frac1{b-a}(\frac{dx}{a-x}-\frac{dx}{b-x})=\color{blue}kdt~~\color{red}\text{(2 points)}\)
qui par intégration :
\(\color{blue}\ln|\frac{b-x}{a-x}|=k(b-a)t+C~~\color{red}\text{(2 points)}\)
d'où : \(\frac{b-x}{a-x}=Ke^{k(b-a)t}\)
avec la condition \(x(0) = 0\) nous déterminons \(K = b/a\) et finalement :
\(\color{blue}x(t)=\frac{ab(1-e^{k(b-a)t})}{a-be^{k(b-a)t}}~~\color{red}\text{(2 points)}\) et \(\color{blue}x(\infty ) = b ~~\color{red}\text{(2 points)}\)