Équations différentielles du 1er ordre

Posons \(a - b = \varepsilon\) (avec \(\varepsilon \rightarrow 0\) quand \(b \rightarrow a)\) d'où :

\(b = a - \varepsilon\) et calculons \(x(t) = N/D\)

or \(e^{-k\varepsilon t} \# 1 - k\varepsilon t\)

d'où \(N \# a^2 [1-(1 - k\varepsilon t)] = a^2 k\varepsilon t\)

et

\(D \# a - (a - \varepsilon)(1 - k\varepsilon t)\)

\(= a - (a - ak\varepsilon t - \varepsilon)\)

\(= \varepsilon + ak\varepsilon t\)

donc

\(\color{blue}x(t)\color{black}=\frac{a^2k\varepsilon T}{(\varepsilon+ak\varepsilon t)}=\color{blue}\frac{a^2kt}{(1+akt)}~~\color{red}\text{(6 points)}\)