Inclusión e igualdad
Inclusión de conjuntos
Se dice que un conjunto
se incluye en un conjunto
si todo elemento de
pertenece a
La inclusión es una inclusión amplia
De acuerdo con la definición anterior, todo conjunto
se incluye en sí mismo.
Inclusión estricta
Cuando el subconjunto
está estrictamente incluido en el conjunto
se dice que
es un subconjunto propio de
Se debe entonces precisarlo mediante la conjunción de las dos propiedades:
Conjunto vacío e inclusión
El conjunto vacío está contenido en todo el conjunto
Un conjunto
no vacío tiene, entonces, siempre al menos dos subconjuntos, el conjunto vacío y él mismo. Por el contrario, el conjunto
tiene un único subconjunto, él mismo.
Ejemplos de inclusión de conjuntos
Sea el conjunto
Sus subconjuntos son los conjuntos:
Transitividad de la inclusión:
Siendo
tres conjuntos, si el primer conjunto
está contenido en el segundo
si el segundo conjunto
está contenido en el tercero
entonces, el primer conjunto
está contenido en el tercero
; se dice que la inclusión es transitiva; esta propiedad se enuncia:
Si
entonces
y se escribe en lenguaje formalizado donde
se lee "implica" y será revisado a continuación:
Justificación
Sea
un elemento de
de acuerdo con la hipótesis
se puede afirmar que
es elemento de
De acuerdo con la hipótesis
se puede afirmar que
es elemento de
Se ha demostrado entonces que todo elemento de
es elemento de
y que entonces
está incluido en
Abuso de escritura
Se puede escribir una serie de inclusiones que pone en evidencia la transitividad de la inclusión:
Igualdad de conjuntos:
Dos conjuntos
y
son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Esto se traduce por dos inclusiones simultáneas.
