Exercice n°1
Partie
Question
Déterminer le paramètre \(a\) pour que la solution \(u(x)\) de l'équation différentielle
\(y'=ay\)
vérifiant \(u(1)=1\) ait pour dérivée en ce point
\(u'(1)=-1\). Expliciter alors la fonction \(u(x)\).
Solution détaillée
Si la solution \(u(x)\) de l'équation \(y'=ay\) vérifie \(u(1)=1\), sa dérivée en \(x=1\) vaut
\(u'(1)=au(1)=a\).
Donc, pour que \(u'(1)\) vaille \(-1\), il faut et il suffit que l'on ait \(a=-1\).
Or les solutions de \(y'=-y\) sont \(C\textrm{exp}(-x)\), où \(C\) est une constante.
La fonction \(u\) est donc de la forme \(u(x)=C\textrm{exp}(-x)\). Puisque \(u(1)=C/\textrm{e}=1\), on trouve \(C=\textrm{e}\), et
\(u(x)=\textrm{e}\textrm{exp}(-x)\) soit encore \(u(x)=\textrm{exp}(1-x)\).