Exercice n°8
Partie
Question
Dans cet exercice, on appliquera la loi physique suivante : une matière radioactive se désintègre avec une vitesse proportionnelle à la quantité de matière restante.
Un morceau de roche contient actuellement \(100\) mg d'uranium et \(14\) mg de plomb. On sait que l'uranium met \(4\) milliard et demi d'années pour se désintégrer à moitié et que la désintégration complète de \(238\) g d'uranium donne \(206\) g de plomb. Déterminer l'âge de la roche sachant qu'au moment de sa formation, elle ne contient pas de plomb.
Appelons \(x(t)\) et \(y(t)\) les masses d'uranium et de plomb à l'instant \(t\), en prenant \(t=0\) au moment de la formation de la roche.
On a, pour tout \(t\),
\(y(t)=206/238(x(0)-x(t))\).
De plus, \(x(t)\) vérifie une équation de la forme
\(x'=ax\), avec \(a<0\).
Solution détaillée
Appelons \(x(t)\) la masse d'uranium et \(y(t)\) la masse de plomb à l'instant \(t\).
Les masses sont mesurées en milligrammes, et les temps en années.
Prenons \(t=0\) au moment de la formation de la roche.
Posons \(x(0)=m_0\) (masse initiale d'uranium).
On a \(y(0)=0\), et \(y(t)=(206/238)(m_0-x(t))\).
Soit \(t_0\) l'age de la roche, en années.
On sait que \(x(t_0)=100\) et \(y(t_0)=14\).
On a donc \(14=(206/238)(m_0-100)\), d'où \(m_0\cong116,174\).
D'autre part \(x(t)\) est solution d'une équation du type \(x'=ax\), et \(x(0)=m_0\), donc
\(x(t)=m_0\textrm{e}^{at}\).
Pour déterminer \(a\), on utilise le fait que, pour \(t_1=4,5.10^9,x(t)=m_0/2\).
Et, donc \(\textrm{exp}(at_1)=1/2\).
Comme \(x(t_0)=100=m_0\textrm{exp}(at_0)\), on trouve
\(t_0=1/a\textrm{ln}(100/m_0)\cong973.106\).
La roche date donc d'environ \(973\) millions d'années.