Exercice n°2
Partie
Question
Trouver la fonction \(f(x)\) telle que l'équation différentielle
\(y'=2y+f(x)\)
admette la fonction \(u(x)=x+1\) comme solution. Quelle est alors la solution générale de cette équation différentielle ?
Solution détaillée
Si la fonction \(u(x)=x+1\) est solution de l'équation \(y'=2y+f(x)\), on a
\(u'(x)=2u(x)+f(x)\),
soit
\(1=2(x+1)+f(x)\),
et finalement
\(f(x)=-2x-1\).
Puisque la solution générale de l'équation homogène homogène \(y'=2y\) est \(C\textrm{exp}(2x)\), la solution générale de \(y'=2y-2x-1\) est
\(u(x)=C\textrm{exp}(2x)+x+1\).