Résolution explicite

\(y'=2y+\textrm{exp}(2x)/(x^2+1)\textrm{ }(1)\) est une équation linéaire à coefficient constant avec second membre.

L'équation homogène (ou sans second membre) associée est \(y'=2y\), dont les solutions sont

\(y=C\textrm{exp}(2x)\).

Pour trouver les solution de \((1)\), utilisons la méthode de variations des constantes :

En posant \(y(x)=C(x)\textrm{exp}(2x)\), on trouve

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}C'(x) & = & \textrm{exp}(-2x)(y'(x)-2y(x))\\& = & \textrm{exp}(2x)[\textrm{exp}(2x)/(x^2+1)]\\& = & 1/(x^2+1)\end{array}}\),

et donc \(C(x)=\textrm{Arctg}(x)+K\), et finalement

\(y(x)=\textrm{exp}(2x)(\textrm{Arctgx+K})\),

où \(K\) est une constante arbitraire.

Soit \(u(x)=\textrm{exp}(2x)(\textrm{Arctg}x+K)\) une solution de \((1)\).

Lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), \(\textrm{Arctg}x+K\) tend vers \(K-\pi/2\) et \(\textrm{exp}(2x)\) tend vers \(0\).

\(u(x)\) tend donc vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\).

On a \(u(0)=K\).

D'autre part, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\textrm{Arctg}x+K\) tend vers \(K+\pi/2\) et \(\textrm{exp}(2x)\) tend vers \(+\infty\).

-Si \(u(0)=K<-\pi/2\), \(K+\pi/2>0\), donc \(u(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

-Si \(u(0)=K>-\pi/2\),\(K+\pi/2<0\), donc \(u(x)\) tend vers \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

Si \(u(0)=-\pi/2\), la limite de \(\textrm{exp}(2x)(\textrm{Arctgx-\pi/2})\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) se présente comme une forme indéterminée \(0\).\(\infty\).

Utilisons l'identité (valable pour tout \(x>0\)) :

\(\textrm{Arctg}(x)+\textrm{Arctg}(1/x)=\pi/2\).

On en déduit

\(u(x)=-\textrm{exp}(2x)\textrm{Arctg}(1/x)\).

Si \(x\) tend vers \(+\infty\), \(1/x\) tend vers \(0\), et \(\textrm{Arctg}(1/x)\) est équivalent à \(1/x\).

Or \(\textrm{exp}(2x)/x\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

On en déduit que \(u(x)\) tend vers \(-\infty\) quand \(x\) tend \(x\) vers \(+\infty\).