Exercice n°6
Partie
Question
Résoudre, pour \(x>0\), l'équation
\(x^2y'+xy+1=0\).
L'équation donnée est linéaire à coefficient variable avec second membre.
Utiliser la méthode de variation des constantes.
Solution détaillée
\(U(x)\) s'écrit \((-\textrm{ln}(x)+K)/x\). Puisque \(u(1)=m\), \(K=m\).
donc \(u(x)=0\) si et seulement si \(\textrm{ln}(x)=m\) et donc \(x_0=\textrm{e}^m\).
D'après l'équation différentielle vérifiée par \(u\), \(u'(x)=0\) si et seulement si \(xu(x)+1=0\).
Cela donne \(-\textrm{ln}(x)+m+1=0\), donc \(x_1=\textrm{e}^{m+1}\).
Question
soit \(u\) la solution vérifiant \(u(1)=m\).
Calculer en fonction de \(m\) les valeurs de \(x_0\) et \(x_1\) pour que \(u(x_0)=0\), et \(u'(x_1)=0\).
Solution détaillée
\(U(x)\) s'écrit \((-\textrm{ln}(x)+K)/x\). Puisque \(u(1)=m\), \(K=m\).
donc \(u(x)=0\) si et seulement si \(\textrm{ln}(x)=m\) et donc \(x_0=\textrm{e}^m\).
D'après l'équation différentielle vérifiée par \(u\), \(u'(x)=0\) si et seulement si \(xu(x)+1=0\).
Cela donne \(-\textrm{ln}(x)+m+1=0\), donc \(x_1=\textrm{e}^{m+1}\).
Question
Tracer l'allure de quelque solutions.
Solution détaillée
Toutes les solutions \(u(x)\) tendent vers \(+\infty\) quand \(x\) tendent vers \(0^+\), décroissent jusqu'à un minimum négatif, puis sont croissantes, et tendent vers \(0^-\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Dans la figure ci-dessous, ce comportement n'apparaît que sur certaines courbes ; les autres ont les mêmes propriétés, mais en dehors du cadre représenté.