Résolution explicite

Soit \(x(t)\) la température du corps en degrés à l'instant \(t\),l'instant \(t=0\) étant celui où l'objet est à \(100°\), et le temps étant mesuré en minutes.

La fonction \(x(t)\) est solution d'une équation de la forme

\(x'=a(x-20)\).

C'est une équation linéaire du premier ordre à coefficient constant avec second membre.

L'équation homogène associée \(x'=ax\) a pour solutions les fonctions \(x(t)=C\textrm{e}^{at}\).

Une solution particulière est la fonction constante \(x(t)=20\) (si un objet est à la température ambiante, il y reste....).

La solution générale est donc de la forme \(x(t)=20+C\textrm{e}^{at}\).

Pour \(t=0\), on a \(x=100\), donc \(C=80\).

Pour \(t=10\), on a \(x=60\), donc \(60=20+80\textrm{e}^{10a}\).

On trouve donc \(a=-\textrm{ln}(2)/{10}\).

La fonction est donc \(x(t)=20+80\textrm{exp}(-t\textrm{ln}(2)/{10})\).

On cherche \(t\) tel que \(x(t)=25\).

\(25=20+80\textrm{exp}(-t\textrm{ln}(2)/{10})\), soit \(-t\textrm{ln}(2)/{10}=-\textrm{ln}(16)=-4\textrm{ln}(2)\), ou encore \(t=40\).

La température de \(25°\) sera donc atteinte au bout de \(40\) minutes