Exercice n°7
Partie
Question
On admettra que la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu ambiant.
Dans une pièce où la température ambiante est maintenue à \(20°\), un objet chauffé à \(100°\) s'est refroidi en \(10\) mn jusqu'à \(60°\). En combien de temps atteindra-t-il \(25°\) ?
La température \(x(t)\) à l'instant \(t\) est solution d'une équation différentielle de la forme
\(x'=a(x-20)\).
Les données permettent de calculer les valeurs de la constante \(a\) et de la constante d'intégration.
Solution détaillée
Soit \(x(t)\) la température du corps en degrés à l'instant \(t\),l'instant \(t=0\) étant celui où l'objet est à \(100°\), et le temps étant mesuré en minutes.
La fonction \(x(t)\) est solution d'une équation de la forme
\(x'=a(x-20)\).
C'est une équation linéaire du premier ordre à coefficient constant avec second membre.
L'équation homogène associée \(x'=ax\) a pour solutions les fonctions \(x(t)=C\textrm{e}^{at}\).
Une solution particulière est la fonction constante \(x(t)=20\) (si un objet est à la température ambiante, il y reste....).
La solution générale est donc de la forme \(x(t)=20+C\textrm{e}^{at}\).
Pour \(t=0\), on a \(x=100\), donc \(C=80\).
Pour \(t=10\), on a \(x=60\), donc \(60=20+80\textrm{e}^{10a}\).
On trouve donc \(a=-\textrm{ln}(2)/{10}\).
La fonction est donc \(x(t)=20+80\textrm{exp}(-t\textrm{ln}(2)/{10})\).
On cherche \(t\) tel que \(x(t)=25\).
\(25=20+80\textrm{exp}(-t\textrm{ln}(2)/{10})\), soit \(-t\textrm{ln}(2)/{10}=-\textrm{ln}(16)=-4\textrm{ln}(2)\), ou encore \(t=40\).
La température de \(25°\) sera donc atteinte au bout de \(40\) minutes