Exercice n°5
Partie
Résoudre les équations différentielles suivantes :
Rappel : Pour une équation
\(y'=ay+P(x)\textrm{e}^{rx}\),
où \(P\) est un polynôme de degré \(n\), on cherche une solution de la forme \(Q(x)\textrm{e}^{rx}\),
où \(Q\) est un polynôme de degré \(n\) si \(r\) est différent de \(a\), et \(n+1\) si \(r=a\).
Question
\(y'=2y+\textrm{e}^x\)
Solution détaillée
l'équation homogène associée est \(y'=2x\), dont la solution générale est \(y=C\textrm{exp}(2x)\).
Il ne reste plus qu'à trouver une solution particulière pour cette équation:
Pour \(y'=2y+\textrm{e}^x\), on cherche une solution de la forme \(y=a\textrm{e}^x\), et on trouve \(a=-1\) ; la solution générale est donc
\(y=C\textrm{e}^{2x}-\textrm{e}^x\).
Question
\(y'=2y-\textrm{e}^{2x}\),
Solution détaillée
l'équation homogène associée est \(y'=2x\), dont la solution générale est \(y=C\textrm{exp}(2x)\).
Il ne reste plus qu'à trouver une solution particulière pour cette équation:
Pour \(y'=2y-\textrm{e}^{2x}\), on cherche une solution de la forme \(y=\textrm{d}x\textrm{e}^{2x}\), et on trouve \(d=-1\) ;
la solution générale est donc
\(y=C\textrm{e}^{2x}-x\textrm{e}^{2x}\).
Question
\(y'=2y-x\textrm{e}^x\),
Solution détaillée
l'équation homogène associée est \(y'=2x\), dont la solution générale est \(y=C\textrm{exp}(2x)\).
Il ne reste plus qu'à trouver une solution particulière pour cette équation:
Pour \(y'=2y-x\textrm{e}^x\), on cherche une solution de la forme \(y=(ax+b)\textrm{e}^x\), et on trouve \(a=b=1\) ;
la solution générale est donc
\(y=C\textrm{e}^{2x}+(x+1)\textrm{e}^x\).
Question
\(y'=2y+x\textrm{e}^{2x}\).
Solution détaillée
l'équation homogène associée est \(y'=2x\), dont la solution générale est \(y=C\textrm{exp}(2x)\).
Il ne reste plus qu'à trouver une solution particulière pour cette équation:
Pour \(y'=2y+x\textrm{e}^{2x}\), on cherche une solution de la forme \(y=(ax^2+bx+c)\textrm{e}^{2x}\), et on trouve \(a=1/2\), \(b=0\), \(c\) quelconque ;
la solution générale est donc
\(y=(x^2/2+C)\textrm{e}^{2x}\).