Exercice n°4
Partie
Question
Résoudre l'équation \(y'=-y+x^2\).
Ecrire la solution \(u\) vérifiant \(u(0)=0\).
Solution détaillée
L'équation \(y'=-y+x^2\) est une équation linéaire à coefficient constant avec second membre.
L'équation homogène (ou sans second membre) associée est \(y'=-y\), dont les solutions sont \(y=C\textrm{exp}(-x)\).
Puisque le second membre est un polynôme du second degré, cherchons une solution particulière sous la forme
\(y=ax^2+bx+c\).
On a \(y'=2ax+b\). Pour que \(y\) soit solution de l'équation, on doit avoir
\(2ax+b=-(ax^2+bx+c)+x^2\), d'où \(a=1\), \(b=-2\) et \(c=2\).
La solution générale est donc
\(y=C\textrm{exp}(-x)+x^2-2x+2\).
Pour que \(y(0)=0\), on doit prendre \(C=-2\), et la solution cherchée est
\(v=-2\textrm{exp}(-x)+x^2-2x+2\).