Sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel R^3 (1ère partie)
Partie
Question
Soit \(F=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~/~2x+3y+z=0\right\}\).
Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).
Aide détaillée
A quel ensemble les vecteurs manipulés appartiennent-ils ?
Pour montrer que \(F\) est non vide, donner un triplet appartenant à \(F\).
Pour montrer que \(F\) est stable pour l'addition prendre deux éléments quelconques \(v_1\) et \(v_2\) appartenant à \(F\) : \(v_1=(x_1,y_1,z_1)\) et \(v_2=(x_2,y_2,z_2)\).
Ecrire que \(v_1\) et \(v_2\) appartiennent à \(F\).
Ecrire \(v_1+v_2\) sous forme de triplet puis vérifier que \(v_1+v_2\) appartient à \(F\).
Pour la stabilité pour la multiplication par un réel, prendre un vecteur \(v=(x,y,z)\) appartenant à \(F\) et un réel \(\lambda\).
Traduire que \(v=(x,y,z)\) appartient à \(F\), puis vérifier que \(\lambda v\) appartient à \(F\).
Aide méthodologique
\((\mathbb R^3,+,.)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb R\). \(F\) est une partie de \(\mathbb R^3\).
\(F\) est l'ensemble des triplets \((x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(2x+3y+z=0\).
Pour montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\), on peut utiliser le théorème suivant :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) une partie de \(E\).
\(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si :
\(F\) est non vide,
\(F\) est stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire.
Aide à la lecture
\(F\) est l'ensemble des triplets tels que, le nombre obtenu en calculant deux fois la première composante plus trois fois la deuxième composante plus la troisième composante est égal à \(0\).
On considère le triplet \((1,2,3)\).
\(2\times1+3\times2+3=11\). Le triplet \((1,2,3)\) n'appartient donc pas à \(F\).
Si on considère maintenant le triplet \((3,-4,6)\).
\(2\times3+3\times(-4)+6=0\). On en déduit que le triplet \((3,-4,6)\) appartient à \(F\).
Solution détaillée
Par définition : \(F\subset\mathbb R^3\).
Le triplet \((0,0,0)\) vérifie bien l'égalité \(2x+3y+z=0\). C'est donc un élément de \(F\). \(F\) est donc non vide.
Remarque :
Pour montrer que \(F\) est non vide on aurait pu choisir un autre triplet \((1,1,-5)\), par exemple le triplet . Mais on sait que si \(F\) est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel \(E\), \(F\) doit nécessairement contenir le vecteur nul de \(E\). Il est donc plus simple de vérifier que le vecteur nul de \(E\) appartient à \(F\). Si ce n'est pas le cas on peut affirmer que \(F\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).
Soient \(v_1=(x_1,y_1,z_1)\) et \(v_2=(x_2,y_2,z_2)\) deux éléments de \(F\). On a donc :
\(2x_1+3y_1+z_1=0\) et \(2x_2+3y_2+z_2=0\).
\(v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=(X,Y,Z)\)
\(\begin{array}{lll}2X+3Y+Z&=&2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)+(z_1+z_2)\\&=&(2x_1+3y_1+z_1)+(2x_2+3y_2+z_2)\\&=&0+0\\&=&0\end{array}\)
Le triplet \(v_1+v_2\) vérifie bien la condition d'appartenance à \(F\). \(F\) est donc stable pour l'addition.
Soient \(\lambda\) un réel et un triplet \(v=(x,y,z)\) de \(F\). On a donc \(2x+3y+z=0\).
\(\lambda v=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=(X,Y,Z)\)
\(\begin{array}{lll}2X+3Y+Z&=&2(\lambda x)+3(\lambda y)+(\lambda z)\\&=&\lambda(2x+3y+z)\\&=&\lambda.0\\&=&0\end{array}\)
\(\lambda v\) appartient donc à \(F\). \(F\) est stable pour la multiplication par un scalaire.
Conclusion :
\(F\), étant une partie non vide de \(\mathbb R^3\), stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire, est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).