Sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel C^2
Partie
Question
Soit \(F\) la partie de \(\mathbb C^2\) définie par : \(F=\left\{(z_1,z_2)\in\mathbb C^2~|~z_2=\overline{z_1}\right\}\).
On considère la structure de \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel de \(\mathbb C^2\). L'ensemble \(F\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathbb C^2\) ?
\(\mathbb C^2\) est aussi muni d'une structure de \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel. L'ensemble \(F\) est-il alors un sous-espace vectoriel de \(\mathbb C^2\) ?
Aide détaillée
a. A quel ensemble les vecteurs manipulés appartiennent ils ?
b. Montrer que \(F\) est non vide.
c. Pour montrer que \(F\) est stable pour l'addition :
Prendre deux éléments quelconques de \(F\), \(v=(z_1,z_2)\) et \(v'=(z_1',z_2')\) .
Traduire que \(v\) et \(v'\) appartiennent à \(F\).
Ecrire \(v+v'\) sous forme de couple et vérifier s'il satisfait à la propriété caractéristique de \(F\).
d. Pour la stabilité pour la multiplication par un scalaire
Prendre un scalaire \(\lambda\)a et un couple \(v\) de \(F\) (dans le premier cas, on prend \(\lambda\) appartenant à \(\mathbb C\), et dans le second cas, \(\lambda\) appartenant à \(\mathbb R\)).
Traduire que \(v\) appartient à \(F\) et considérer le couple \(\lambda v\).
Aide méthodologique
\(F\) est une partie de \(\mathbb C^2\). C'est l'ensemble des couples \((z_1,z_2)\) de \(\mathbb C^2\) qui vérifient la condition \(z_2=\overline{z_1}\), (\(\overline{z_1}\) désignant le conjugué de \(z_1\)).
Dans les deux cas, pour montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb C^2\) on peut utiliser le théorème :
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) une partie de \(E\).
\(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si :
\(F\) est non vide
\(F\) est stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire.
Solution détaillée
a. Par définition \(F\subset\mathbb C^2\).
b. Le conjugué de \(0\) est \(0\). Le couple \((0,0)\) appartient donc à \(F\). \(F\) est donc non vide.
c. Soient \(v=(z_1,z_2)\) et \(v'=(z_1',z_2')\) deux éléments de \(F\).
On a donc \(z_2=\overline{z_1}\) et \(z_2'=\overline{z_1}'\) : \(v+v'=(z_1+z_1',z_2+z_2')\) .
On utilise la propriété suivante :
Propriété :
Le conjugué de la somme de 2 nombres complexes est égal à la somme des conjugués de ces 2 nombres.
On a donc \(\overline{z_1+z_1}'=\overline{z_1}+\overline{z_1}'=z_2+z_2'\).
Le couple \(v+v'\) appartient donc à \(F\). \(F\) est stable pour l'addition.
d.
On considère ici \(\mathbb C^2\) espace vectoriel sur \mathbb C.
Soient \(\lambda\) appartenant à \(\mathbb C\) et un élément \(v\) de \(F\). \(v=(z_1,z_2)\) avec \(z_2=\overline{z_1}\).
\(\lambda v=(\lambda z_1,\lambda z_2)\)
\(\overline{\lambda z_1}=\overline{\lambda}\overline{z_1}=\overline{\lambda}z_2\)
Si \(\lambda\) n'est pas réel \(\overline{\lambda}\ne\lambda\). Pour montrer que \(F\) n'est pas stable pour la multiplication par un scalaire, il suffit de donner un contre-exemple :
\((1,1)\in F\), \(i(1,1)=(i,i)\), \(\overline{i}=-i\) le couple \((i,i)\) n'appartient donc pas à \(F\).
\(F\) n'est donc pas stable pour la multiplication par un scalaire.
\(F\) n'est pas un sous-espace vectoriel du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(\mathbb C^2\).
On considère maintenant \(\mathbb C^2\) espace vectoriel sur \(\mathbb R\).
Soient un réel \(\lambda\) et un élément \(v\) de \(F\). \(v=(z_1,z_2)\) avec \(z_2=\overline{z_1}\).
\(\lambda v=(\lambda z_1,\lambda z_2)\)
\(\overline{\lambda z_1}=\overline{\lambda}\overline{z_1}=\overline{\lambda}z_2=\lambda z_2\)
En effet un nombre réel est égal à son conjugué. Le vecteur \(\lambda v\) appartient donc à \(F\) et \(F\) est donc stable pour la multiplication par un scalaire.
On peut donc conclure que \(F\) est un sous-espace vectoriel du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C^2\).