Sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de R dans R
Partie
Question
On considère l'équation différentielle \((E)~~ay''+by'+cy=0\) ,
\(a\), \(b\), \(c\) étant des constantes (\(a\ne0\)).
On note \(S\) l'ensemble des solutions de \((E)\), c'est-à-dire l'ensemble des applications de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), deux fois dérivables, telles que :
\(\forall x\in\mathbb R,~af''(x)+bf'(x)+cf(x)=0\)
Montrer que \(S\), muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel.
Aide détaillée
On cherche à démontrer que \(S\) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), noté \(F(\mathbb R,\mathbb R)\) (cf. méthodologie).
Quel est le vecteur nul de l'espace vectoriel \(F(\mathbb R,\mathbb R)\) ?
Appartient-il à \(S\) ? Que peut-on en conclure ?
Pour montrer que \(S\) est stable par combinaison linéaire prendre deux éléments de \(S\), \(f\) et \(g\), et deux réels \(\alpha\) et \(\beta\).
Traduire que \(f\) et \(g\) appartiennent à \(S\), puis vérifier que \(\alpha f+\beta g\) appartient à \(S\).
Aide méthodologique
Un élément de \(S\) est une application de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), deux fois dérivable, solution de l'équation différentielle \((E)\). L'ensemble \(S\) est donc inclus dans l'ensemble des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), noté \(F(\mathbb R,\mathbb R)\). Cet ensemble, muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel.
Pour montrer que \(S\) est un espace vectoriel il suffit de montrer que \(S\) est un sous-espace vectoriel de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\), c'est-à-dire montrer que \(F\) est non vide et stable par combinaison linéaire.
Solution détaillée
L'ensemble \(S\) est inclus dans l'ensemble des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), noté \(F(\mathbb R,\mathbb R)\). Cet ensemble muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel. Pour montrer que \(S\) est un espace vectoriel il suffit de montrer que \(S\) est un sous-espace vectoriel de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\).
Le vecteur nul de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\) est la fonction nulle. C'est la fonction qui à tout réel \(x\) associe \(0\). C'est une application deux fois dérivable sur \(\mathbb R\) et elle est solution de l'équation différentielle \((E)\). La fonction nulle appartient à \(S\). L'ensemble \(S\) est donc non vide.
Soient \(f\) et \(g\) deux éléments de \(S\), \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels.
Les fonctions \(f\) et \(g\) appartiennent à \(S\), elles sont donc deux fois dérivables sur \(\mathbb R\) et vérifient :
\(\forall x\in\mathbb R,~af''(x)+bf'(x)+cf(x)=0\)
\(\forall x\in\mathbb R,~ag''(x)+bg'(x)+cg(x)=0\)
On pose \(h=\alpha f+\beta g\). La fonction \(h\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\) (théorème sur les fonctions dérivables). De plus
\(\forall x\in\mathbb R\)
\(\displaystyle{\begin{array}{rclc}ah'''(x)+bh'(x)+ch(x)&=&a(\alpha f+\beta g)''(x)+b(\alpha f+\beta g)'(x)+c(\alpha f+\beta g)(x)&\\&=&a(\alpha f(x)+\beta g(x))''+b(\alpha f(x)+\beta g(x))'+c(\alpha f(x)+\beta g(x))&\textrm{(propriétés des dérivées)}\\&=&\alpha(af''(x)+bf'(x)+cf(x))+\beta(ag''(x)+bg'(x)+cg(x))&\\&=&\alpha0+\beta0&(\textrm{car } f \textrm{ et }g\textrm{ sont solutions de }(E))\\&=&0&\end{array}}\)
La fonction \(h\) est donc deux fois dérivable sur \(\mathbb R\) et est solution de l'équation différentielle \((E)\) : elle appartient donc à \(S\).
L'ensemble \(S\) est donc stable par combinaison linéaire.
Conclusion :
L'ensemble \(S\) est une partie non vide de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\) stable par combinaison linéaire.
C'est donc un sous-espace vectoriel de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\). C'est donc un espace vectoriel.