Sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles (2ème partie)
Partie
Question
Soit \(E\) l'espace vectoriel des suites réelles.
L'ensemble des suites géométriques est-il un sous-espace vectoriel de \(E\) ?
Aide détaillée
A quel ensemble les vecteurs manipulés appartiennent-ils ?
Quel est le vecteur nul de l'espace vectoriel \(E\) ?
Appartient-il à \(F\) ? Que peut-on en conclure ?
Pour montrer que \(F\) est stable pour l'addition prendre deux éléments de \(F\) :
\(u=(u_n)_{n\in\mathbb N}\) et \(v=(v_n)_{n\in\mathbb N}\).
Traduire que \(u\) et \(v\) appartiennent à \(F\) et vérifier que la suite \(u+v\) appartient à \(F\).
Pour montrer que \(F\) n'est pas stable pour l'addition il suffit de trouver un contre exemple, c'est-à-dire deux éléments de \(F\) dont la somme n'appartient pas à \(F\).
Aide méthodologique
Les éléments de \(F\) sont des suites réelles particulières : ce sont les suites géométriques. L'ensemble \(F\) est donc inclus dans l'ensemble des suites réelles. Cet ensemble muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel.
Pour montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), on peut utiliser le théorème suivant :
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) une partie de \(E\). \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si :
\(F\) est non vide
\(F\) est stable pour l'addition et la multiplication par un réel.
Aide à la lecture
Une suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est une suite géométrique si il existe un réel \(q\) tel que, pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}=qu_n\).
Le réel \(q\) s'appelle la raison de la suite.
On montre alors que pour tout entier \(n\), \(u_n=u_0q^n\).
Une suite géométrique est déterminée par son premier terme et par sa raison.
Solution détaillée
\(F\subset E\)
Le vecteur nul de \(E\) est la suite nulle : c'est-à-dire la suite \((e_n)_{n\in\mathbb N}\) telle que, pour tout entier \(n\), \(e_n=0\). C'est une suite géométrique de premier terme égal à \(0\) et de raison \(q\), \(q\) pouvant être pris quelconque.
La suite nulle appartient donc à l'ensemble \(F\). L'ensemble \(F\) est donc non vide.
Soient \(u=(u_n)_{n\in\mathbb N}\) et \(v=(v_n)_{n\in\mathbb N}\) deux éléments de \(F\).
La suite \(u\) appartient à \(F\). C'est donc une suite géométrique. Soit \(q\) sa raison.
On a alors : \(\forall n\in\mathbb N,~u_{n+1}=qu_n\)
La suite \(v\) appartient à \(F\). C'est donc une suite géométrique. Soit \(q'\) sa raison.
On a alors : \(\forall n\in\mathbb N,~v_{n+1}=q'v_n\)
On pose \(w=u+v\). On a alors \(\forall n\in\mathbb N,~w_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=qu_n+q'v_n\).
Si \(q\neq q'\), l'égalité précédente ne permet pas de conclure que la suite \(w\) est une suite géométrique. On cherche alors un contre-exemple :
Soit \(u=(u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite géométrique de premier terme égal à \(1\) et de raison \(2\).
On a : \(\forall n\in\mathbb N,~u_n=2^n\).
Soit \(v=(v_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite géométrique de premier terme égal à \(1\) et de raison \(3\).
On a : \(\forall n\in\mathbb N,~v_n=3^n\).
On pose \(w=u+v\). Alors \(\forall n\in\mathbb N,~w_n=2^n+3^n\).
On a alors \(w_0=1+1=2\), \(w_1=2+3=5\), \(w_2=4+9=13\).
Alors, \(\displaystyle{\frac{w_2}{w_1}\ne\frac{w_1}{w_0}}\).
La suite \(w\) n'est donc pas une suite géométrique. Elle n'appartient donc pas à l'ensemble \(F\). l'ensemble \(F\) n'est donc pas stable pour l'addition.
Conclusion :
L'ensemble \(F\), n'étant pas stable pour l'addition, n'est donc pas un sous-espace vectoriel de \(E\).