Sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel R^2
Partie
Question
Soit \(F\) la partie de \(\mathbb R^2\) définie par \(F=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2~/~|x|=|y|\right\}\).
L'ensemble \(F\) est-il un sous espace vectoriel de \(\mathbb R^2\) ?
Aide détaillée
A quel espace vectoriel les vecteurs manipulés appartiennent ils ?
Pour montrer que \(F\) est non vide donner un couple appartenant à \(F\).
Pour montrer que \(F\) est stable pour l'addition, prendre deux éléments quelconques \(v_1\) et \(v_2\) appartenant à \(F\) : \(v_1=(x_1,y_1)\) et \(v_2=(x_2,y_2)\).
Traduire que \(v_1\) et \(v_2\) appartiennent à \(F\).
Ecrire \(v_1+v_2\) sous forme de couple et étudier si \(v_1+v_2\) vérifie la condition d'appartenance à \(F\).
Pour montrer que \(F\) n'est pas stable pour l'addition il suffit de trouver un contre exemple, c'est-à-dire trouver deux vecteurs de \(F\) dont la somme n'appartient pas à \(F\).
Si \(F\) n'est pas stable pour l'addition, conclure.
Si \(F\) est stable pour l'addition, étudier la stabilité de \(F\) pour la multiplication par un réel.
Aide méthodologique
\((\mathbb R^2,+,.)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb R\). \(F\) est une partie de \(\mathbb R^2\).
\(F\) est l'ensemble des couples \((x,y)\) de \(\mathbb R^2\) qui vérifient l'égalité \(|x|=|y|\).
Pour montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^2\), on peut utiliser le théorème suivant :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) une partie de \(E\).
\(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si :
1) \(F\) est non vide,
2) \(F\) est stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire.
Aide à la lecture
L'ensemble \(F\) est une partie de \(\mathbb R^2\). C'est l'ensemble des couples \((x,y)\) tels que \(|x|=|y|\), c'est-à-dire les couples dont les composantes ont la même valeur absolue.
Les couples \((1,1)\), \((2,-2)\) sont des éléments de \(F\), le couple \((1,2)\) n'appartient pas à \(F\).
\((\mathbb R^2,+,.)\) est un espace vectoriel. La question est de savoir si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^2\)
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Solution détaillée
Par définition : \(F\subset\mathbb R^2\).
Le couple \((0,0)\) vérifie bien l'égalité \(|x|=|y|\). C'est donc un élément de \(F\). \(F\) est donc non vide.
Soient \(v_1=(x_1,y_1)\) et \(v_2=(x_2,y_2)\) deux éléments de \(F\). On a donc \(|x_1|=|y_1|\) et \(|x_2|=|y_2|\).
\(v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)=(X,Y)\)
\(|X|=|x_1+x_2|\) et \(|Y|=|y_1+y_2|\)
Si on a \(|x_1|=|y_1|\) et \(|x_2|=|y_2|\) , on ne peut pas conclure que les valeurs absolues de \(X\) et de \(Y\) sont égales.
On cherche donc un contre exemple : soient \(v_1=(1,1)\) et \(v_2=(2,-2)\) alors \(v_1+v_2=(3,-1)\).
Les deux vecteurs \(v_1\) et \(v_2\) appartiennent à \(F\), mais leur somme n'appartient pas à \(F\).
L'ensemble \(F\) n'est donc pas stable pour l'addition.
\(F\) n'est donc pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^2\).