Sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles (1ère partie)
Partie
Question
Soit \(F\) l'ensemble des suites réelles vérifiant la relation de récurrence : \(u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n\quad(n\ge0)\)
Montrer que \(F\) muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel.
Aide détaillée
A quel ensemble les vecteurs manipulés appartiennent-ils ?
Quel est le vecteur nul de l'espace vectoriel \(E\) ?
Appartient-il à \(F\) ? Que peut-on en conclure ?
Pour montrer que \(F\) est stable par combinaison linéaire prendre deux éléments de \(F\) \(u=(u_n)_{n\in\mathbb N}\) et \(v=(v_n)_{n\in\mathbb N}\) et deux réels \(\alpha\) et \(\beta\).
Traduire que \(u\) et \(v\) appartiennent à \(F\), puis vérifier que \(\alpha u+\beta v\) appartient à \(F\), c'est-à-dire que la suite \(\alpha u+\beta v\) vérifie la relation de récurrence qui caractérise les éléments de \(F\).
Aide méthodologique
Un élément de \(F\) est une suite réelle vérifiant la relation de récurrence \(u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n\quad(n\ge0)\).
L'ensemble \(F\) est donc inclus dans l'ensemble \(E\) des suites réelles. Cet ensemble muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel.
Pour montrer que \(F\) est un espace vectoriel il suffit donc de montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), c'est-à-dire montrer que \(F\) est non vide et que \(F\) est stable par combinaison linéaire.
Aide à la lecture
Un élément de \(F\) est une suite telle que, pour tout entier \(n\), le terme de rang \(n+2\) se calcule à partir des termes de rang \(n\) et de rang \(n+1\) de la façon suivante : on multiplie le terme de rang \(n+1\) par \(2\) puis on lui ajoute le terme de rang \(n\).
soit la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) de \(F\) telle que \(u_0=3\) et \(u_1=4\) alors
\(u_2=2\times4+3=11\)
\(u_3=2\times11+4=26\ldots\)
On peut ainsi calculer de proche en proche les termes de la suite.
Solution détaillée
L'ensemble \(F\) est inclus dans l'ensemble \(E\) des suites réelles. Cet ensemble muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel.
Pour montrer que \(F\) est un espace vectoriel il suffit donc de montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Le vecteur nul de \(E\) est la suite nulle : c'est-à-dire la suite \((e_n)_{n\in\mathbb N}\) telle que, pour tout entier \(n\), \(e_n=0\). Cette suite vérifie bien la relation de récurrence qui caractérise les éléments de \(F\) car, pour tout entier \(n\), \(e_{n+2}=2e_{n+1}+e_n\)
La suite nulle appartient à \(F\). L'ensemble \(F\) est donc non vide.
Soient \(u=(u_n)_{n\in\mathbb N}\) et \(v=(v_n)_{n\in\mathbb N}\) deux éléments de \(F\) et \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels.
La suite \(u\) appartient à \(F\). Elle vérifie donc : \(\forall n\in\mathbb N,~u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n~~(1)\)
La suite \(v\) appartient à \(F\). Elle vérifie donc : \(\forall n\in\mathbb N,~v_{n+2}=2v_{n+1}+v_n~~(2)\)
On pose \(w=\alpha u+\beta v\). On a : \(\forall n\in\mathbb N,~w_n=\alpha u_n+\beta v_n\)
\(\begin{array}{rcll}w_{n+2}&=&\alpha u_{n+2}+\beta v_{n+2}&\\&=&\alpha(2u_{n+1}+u_n)+\beta(2v_{n+1}+v_n)&(\textrm{d'après 1. et 2.})\\&=&2\alpha u_{n+1}+\alpha u_n+2\beta v_{n+1}+\beta v_n&\\&=&2(\alpha u_{n+1}+\beta v_{n+1})+(\alpha u_n+\beta v_n)&\\&=&2w_{n+1}+w_n&\end{array}\)
La suite \(w\) vérifie bien la relation de récurrence qui caractérise les éléments de \(F\) car, pour tout entier \(n\), \(w_{n+2}=2w_{n+1}+w_n\)
Elle appartient donc à \(F\). L'ensemble \(F\) est donc stable par combinaison linéaire.
Conclusion :
L'ensemble \(F\) est une partie non vide de \(E\) stable par combinaison linéaire.
C'est donc un sous-espace vectoriel de \(E\) et donc un espace vectoriel.