Sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel R^3 (2ème partie)

Partie

Question

Soit \(F=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~/~x+y+z=1\right\}\).

L'ensemble \(F\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\) ?

Aide méthodologique

\((\mathbb R^3,+,.)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb R\). L'ensemble \(F\) est une partie de \(\mathbb R^3\). C'est l'ensemble des triplets \((x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(x+y+z=1\).

Par exemple le triplet \((1,0,0)\) appartient à \(F\).

Pour montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\), on peut utiliser le théorème suivant :

Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) une partie de \(E\), \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si :

  1. \(F\) est non vide,

  2. \(F\) est stable pour l'addition et pour la multiplication par un scalaire.

D'autre part, on sait que si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) alors \(F\) contient nécessairement le vecteur nul de \(E\). Pour vérifier la première condition du théorème (\(F\) non vide) on peut se poser la question : le vecteur nul de \(E\) appartient-il à \(F\) ?

  • Si la réponse est oui, la première condition est remplie : \(F\) est non vide.

  • Si la réponse est non, on peut conclure que \(F\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\)

Solution détaillée

Par définition \(F\) est inclus dans \(\mathbb R^3\).

Le triplet \((0,0,0)\) ne vérifie pas la condition d'appartenance à \(F\), c'est-à-dire qu'il ne vérifie pas l'égalité \(x+y+z=1\).

Il n'appartient donc pas à \(F\). Le vecteur nul de \(\mathbb R^3\) n'appartient pas à \(F\).

Or, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel \(E\) contient nécessairement le vecteur nul de \(E\). On peut donc conclure que \(F\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).