Démonstrations
Comment démontrer ?
Une inclusion
Pour démontrer qu'un ensemble \(F\) est inclus dans un ensemble \(E,\) on prend un élément \(x\) quelconque de \(F,\) on utilise les hypothèses qui définissent l'ensemble \(F,\) et on démontre que \(x\) vérifie les propriétés qui définissent l'ensemble \(E.\) La démonstration prend donc la structure suivante :
Soit \(x\) un élément de l'ensemble \(F\)
...
(raisonnement)
...
donc \(x\) est un élément de l'ensemble \(E\)
Conclusion : \(F\subset E\)
Une non-inclusion
Comment prouver \(F\not\subset E\) ? Il suffit de trouver un élément de \(F\) qui n'est pas dans l'ensemble \(E,\) (un contre-exemple suffit).
Une égalité d'ensembles
Deux ensembles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. Cela se traduit par deux inclusions simultanées.
\(E = F\Leftrightarrow (F\subset E ~et~ E\subset F)\)
Pour démontrer l'égalité de deux ensembles \(E\) et \(F,\) il faudra faire deux démonstrations d'inclusion, d'une part pour démontrer \(F\subset E,\) d'autre part pour démontrer \(E\subset F.\)
Utiliser dans une démonstration
Une inclusion
Comment utiliser une hypothèse \(F\subset E\) dans une démonstration ? On utilise que tout élément qui appartient à \(F\) appartient aussi à \(E\) et donc vérifie les propriétés qui définissent \(E.\)
Une non-inclusion
Comment utiliser une hypothèse \(F\not\subset E\) ? On affirme qu'on sait qu'il y a au moins un élément de \(F\) qui n'est pas élément de \(E,\) on dit qu'on en prend un et on utilise l'élément ainsi défini dans la démonstration qui suit.
Exemple :
Reprenons la démonstration faite précédemment de la propriété:
Si \((A\subset B~et~ B\subset C),\) alors \(A\subset C\)
La justification a suivi les schémas "Démontrer une inclusion" et "utiliser une inclusion" .
"Démontrer une inclusion"
L'objectif est de montrer que \(A\subset C.\) On a donc pris un élément \(x\) de \(A,\) et nous avons pour but de montrer que \(x\) est élément de \(C.\)
"Raisonnement"
Il consiste à utiliser deux inclusions données en hypothèse, \((A\subset B ~et~ B\subset C).\)
"Utiliser une inclusion" : en utilisant l'inclusion \(A\subset B\) donnée par hypothèse, on peut affirmer que \(x\) est élément de \(B.\)
"Utiliser une inclusion " : comme \(x\in B,\) en utilisant l'inclusion \(B\subset C\) donnée par hypothèse, on peut affirmer que \(x\) est élément de \(C,\) ce qui est notre but.
"Conclure"
On a donc montré que tout élément de \(A\) est élément de \(C\) et donc que \(A\) est inclus dans \(C.\)