Langage des ensembles

On se donne un ensemble \(E\) et trois propriétés \("P",\) \("Q",\) \("R"\) susceptibles d'être vérifiées par des éléments de l'ensemble \(E.\) À chacune des propriétés, on associe un sous ensemble de \(E.\)

\(A = \{ x\in E | P(x) \},\) \(B = \{ x\in E | Q(x) \},\) \(C = \{ x\in E | R(x) \}.\)

\(\begin{array}{|c|c|} \hline A \cap B & P~ et~ Q \\\hline x\in A\cap B & P(x) ~et~ Q(x)\\\hline A\cup B &P ~ou~ Q\\\hline x\in A\cup B & P(x)~ ou~ Q(x) \\ \hline \end{array}\)

\(\\\)

\(\begin{array}{|c|c|} \hline C_E A = \{ x\in E | non~ P(x) \} & non~P \\ \hline C_E C_E A = A & non(non(P))\Leftrightarrow P \\ \hline C_E (A\cap B) = (C_E A)\cup (C_E B) & non~ (P~ et~ Q)\Leftrightarrow ((non~ P)~ ou~ (non~ Q)) \\ \hline C_E (A\cup B) = (C_E A )\cap (C_E B) & non~(P~ ou~ Q)\Leftrightarrow ((non ~P)~ et~ (non~ Q)) \\ \hline A\cup (C_E A) = E & P~ ou~ (non~ P) \\ \hline A\cap (C_E A) = \emptyset & P ~et~ (non~ P)~ impossible\\\hline\end{array}\)