Réunion d'ensembles
Si et F sont des ensembles, E \cup F est l'ensemble constitué des éléments qui appartiennent à au moins l'un des deux ensembles E ou à F, (on admet qu'il existe).
E\cup F = \{x | x\in E~ou~ x\in F \}
On a donc :
x\in E\cup F\Leftrightarrow (x\in E~ ou~ x\in F)
Le "ou" est non-exclusif, c'est-à-dire qu'il regroupe trois cas :
x\in E\cup F\Leftrightarrow (x\in E~ et~ x\in F)~ ou~ (x\notin E ~et~ x\in F )~ ou~ (x\in E~ et~ x\notin F)
Lien avec les lois de Morgan
x\notin E\cup F\Leftrightarrow (x\notin E~ et~ x\notin F)
Diagramme de Venn \color{blue}E\cup F
Diagramme de Caroll \color{blue}E\cup F
Propriétés de la réunion
La réunion de deux ensembles A et B est le plus petit ensemble qui contienne à la fois ces deux ensembles
Ce qui se traduit en langage formalisé par la conjonction de deux propriétés.
[A\subset A\cup B~et~ B\subset A\cup B] ~et~ [(A\subset C~ et~ B\subset C)\Rightarrow A\cup B\subset C ]
On peut à titre d'exercice, démontrer ces propriétés, ainsi que les suivantes.
Idempotence
Pour tout ensemble E, E\cup E = E
Pour tous les ensembles E et F, E\cup F = F\cup E
(E\cup F)\cup G = E\cup (F\cup G) pour tous les ensembles E, F et G. Cela permet de définir la réunion de trois ensembles, d'un nombre fini d'ensembles.
E_1\cup E_2\cup E_3 = \{ x | x\in E_1~ ou~ x\in E_2 ~ou~ x \in E_3 \}
E_1\cup E_2\cup \dots\cup E_n = \{ x | x\in E_1 ~ou~ x\in E_2 ~ou~ \dots ~ou~ x\in E_n \}
Généralisation
La réunion se généralise à la réunion d'une famille d'ensembles (dont on admet l'existence).
\cup_{i\in I}E_i=\{x|\exists i \in I,~~x\in E_i\}
\exists signifie il existe au moins un et sera revu plus tard.
Réunion, lien avec le connecteur "ou"
Supposons l'ensemble E défini par une propriété "P" et l'ensemble F défini par une propriété "Q", alors on remarque que l'ensemble E\cup F est défini par la propriété "P~ ou~ Q" :
E = \{ x\in U ~~|~~ P(x)\}
F = \{ x\in U ~~|~~ Q(x)\}
E\cup F = \{ x\in U ~~|~~ P(x) ~ou~ Q(x)\}