Réunion d'ensembles
Si \(E\) et \(F\) sont des ensembles, \(E \cup F\) est l'ensemble constitué des éléments qui appartiennent à au moins l'un des deux ensembles \(E\) ou à \(F,\) (on admet qu'il existe).
\(E\cup F = \{x | x\in E~ou~ x\in F \}\)
On a donc :
\(x\in E\cup F\Leftrightarrow (x\in E~ ou~ x\in F)\)
Le "ou" est non-exclusif, c'est-à-dire qu'il regroupe trois cas :
\(x\in E\cup F\Leftrightarrow (x\in E~ et~ x\in F)~ ou~ (x\notin E ~et~ x\in F )~ ou~ (x\in E~ et~ x\notin F)\)
Lien avec les lois de Morgan
\(x\notin E\cup F\Leftrightarrow (x\notin E~ et~ x\notin F)\)
Diagramme de Venn \(\color{blue}E\cup F\)
Diagramme de Caroll \(\color{blue}E\cup F\)
Propriétés de la réunion
La réunion de deux ensembles \(A\) et \(B\) est le plus petit ensemble qui contienne à la fois ces deux ensembles
Ce qui se traduit en langage formalisé par la conjonction de deux propriétés.
\([A\subset A\cup B~et~ B\subset A\cup B] ~et~ [(A\subset C~ et~ B\subset C)\Rightarrow A\cup B\subset C ]\)
On peut à titre d'exercice, démontrer ces propriétés, ainsi que les suivantes.
Idempotence
Pour tout ensemble \(E,\) \(E\cup E = E\)
Pour tous les ensembles \(E\) et \(F,\) \(E\cup F = F\cup E\)
\((E\cup F)\cup G = E\cup (F\cup G)\) pour tous les ensembles \(E,\) \(F\) et \(G.\) Cela permet de définir la réunion de trois ensembles, d'un nombre fini d'ensembles.
\(E_1\cup E_2\cup E_3 = \{ x | x\in E_1~ ou~ x\in E_2 ~ou~ x \in E_3 \}\)
\(E_1\cup E_2\cup \dots\cup E_n = \{ x | x\in E_1 ~ou~ x\in E_2 ~ou~ \dots ~ou~ x\in E_n \}\)
Généralisation
La réunion se généralise à la réunion d'une famille d'ensembles (dont on admet l'existence).
\(\cup_{i\in I}E_i=\{x|\exists i \in I,~~x\in E_i\}\)
\(\exists\) signifie il existe au moins un et sera revu plus tard.
Réunion, lien avec le connecteur "ou"
Supposons l'ensemble \(E\) défini par une propriété \("P"\) et l'ensemble \(F\) défini par une propriété \("Q",\) alors on remarque que l'ensemble \(E\cup F\) est défini par la propriété \("P~ ou~ Q"\) :
\(E = \{ x\in U ~~|~~ P(x)\}\)
\(F = \{ x\in U ~~|~~ Q(x)\}\)
\(E\cup F = \{ x\in U ~~|~~ P(x) ~ou~ Q(x)\}\)