Introduction
Langage des ensembles
On ne définit pas la notion d'ensemble en mathématiques. En effet, si on veut définir un ensemble en disant c'est une collection..., il faut alors définir ce qu'est une collection, etc. On se retrouve alors avec une suite de définitions où, à un moment donné, on revient au mot de départ, comme dans les dictionnaires classiques. En mathématiques, on part de notions non définies, qu'on appelle les termes primitifs, comme les ensembles, les points en géométrie, et on précise les règles du jeu avec ces termes, règles qu'on appelle les axiomes de la théorie.
Dans ce cours nous ne développons pas une théorie des ensembles axiomatisée. Nous présentons une théorie naïve, où les axiomes ne sont pas explicités. Cette théorie naïve est celle qui préside à la pratique quotidienne en mathématique. Dans une démonstration, on n'utilise que les propriétés de départ et les résultats démontrés antérieurement
Une théorie axiomatisée relève de niveaux d'étude plus avancés, en logique. Elle a des objectifs de cohérence : les axiomes sont-ils bien choisis pour être sûr que n'apparaisse pas de contradiction? etc