Définitions
Série convergente, série divergente.
Soit \((u_n)\) une suite de nombres réels ou complexes, et, pour tout \(n\in N\), soit \(s_n=u_o+u_1+\ldots+u_n=\displaystyle{\sum^n_{k=0}}u_k\) la somme des \(n+1\) premiers termes de cette suite.
Si la suite \((s_n)\) est convergente, on dit que la série de terme général \(u_n\) (ou série \(\sum u_n\)) est convergente. La limite, notée \(s\), de la suite \((s_n)\) est la somme de la série \(\sum u_n\). On écrit alors : \(s=\displaystyle{\sum_0^{+\infty}}u_n\).
Si la suite \((s_n)\) est divergente, on dit que la série de terme général \(u_n\) (ou série \(\sum u_n\)) est divergente.
Somme partielle d'ordre n.
Le nombre \(s_n=u_0+u_1+\ldots+u_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n}u_k\) est appelé somme partielle d'ordre \(n\) de la série \(\sum u_n\).
Remarque :
D'un point de vue purement logique, la série de terme général \(u_n\) s'identifie complétement avec la suite \((s_n)\) et le mot série ne désigne pas une notion réellement nouvelle. La théorie des séries pourrait se ramener à celle des suites, mais du point de vue pratique, il est plus commode d'étudier la convergence de la série à partir de la donnée de \(u_n\). C'est pour une grande part l'objet de ce chapitre.
Réciproquement, si une suite \((s_n)\) est donnée, on peut lui associer la série de terme général
\(u_0=s_0\) et \(\forall n\geq1\), \(u_n=s_n-s_{n-1}\).
On a alors : \(\forall n\geq0\), \(s_n=\displaystyle{\sum^n_{k=0}}u_k\).
Pour une série à termes réels \(\sum u_n\), trois cas peuvent se présenter
la suite \((s_n)\) a une limite finie,
la suite \((s_n)\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\),
la suite \((s_n)\) n'a pas de limite.
Dans le premier cas la série \(\sum u_n\) est convergente, dans les deux autres cas la série \(\sum u_n\) est divergente.
Nous avons précisé limite finie. Par définition, la limite, pour les suites comme pour les fonctions, est un nombre réel. Mais, dans les cas des suites et des fonctions qui tendent vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), certains parlent de limite infinie, ce qui s'interprète facilement dans le cadre de la droite achevée \(\bar{R}\).
Dans tout le chapitre, quand nous parlerons de limite sans préciser, il s'agira de limite finie.
Règle : A propos des notations
Si on considère une suite définie à partir d'un certain rang \(n_0(u_n)_{n\geq n_0}\), on note alors la série \(\displaystyle{\sum_{n\geq n_0}}u_n\) ou \(\sum u_n\) s'il n'y a pas d'ambiguïté. Un cas très fréquent est celui où la suite \((u_n)\) est définie pour \(n\geq 1\). C'est le cas des séries de Riemann ou séries de terme général \(\frac{1}{n^s}(n\geq1,s\in \mathbb R)\).
Lorsqu'une telle série est convergente, on note \(\displaystyle{\sum_{n=n_0}^{+\infty}}u_n\) ou sa somme \(\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n\)(le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite \(\left(\displaystyle{\sum_{k=n_0}^n}u_k\right)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
De façon générale, on prendra bien soin de distinguer la série \(\sum u_n\) de sa somme \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n\) ou \(\displaystyle{\sum_{n=n_0}^{+\infty}}u_n\) qui est un nombre réel ou complexe. Ainsi si on considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies respectivement par :
\(\forall n\in \mathbb N, u_n=\left(\frac12\right)^n, v_0=2 \textrm{ et }\forall n\geq 1, v_n=0\)
les deux séries sont distinctes \(\sum u_n\neq \sum v_n\), mais leurs sommes sont égales : \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n=\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}v_n\).
Reste d'ordre n.
Si la série \(\sum u_n\) est convergente et de somme \(s\), le nombre \(r_n\) défini par \(r_n=s-s_n\) est appelé reste d'ordre \(n\) de la série \(\sum u_n\).
Ainsi quand la série \(\sum u_n\) est convergente, la suite \((r_n)\) tend vers 0. C'est la rapidité de la convergence de la suite \((r_n)\) vers 0 qui caractérise la rapidité de convergence de la série.