Propriétés de linéarité
La somme d'une série étant définie comme limite d'une suite, les théorèmes concernant les suites convergentes s'appliquent aux séries convergentes. En particulier :
Théorème :
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites à termes réels (resp. complexes) telles que les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) soient convergentes. Alors la série \(\sum(u_n+v_n)\) est convergente et :
\(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}(u_n+v_n)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n+\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}v_n\).
Soit \((u_n)\) une suite à termes réels (resp. complexes) telle que la série \(\sum u_n\) soit convergente. Alors, pour tout \(\lambda\) réel (resp. complexe), la série \(\sum \lambda u_n\)est convergente et :
\(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}\lambda u_n=\lambda\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n\).
Ainsi, l'ensemble des suites \((u_n)\) réelles (resp. complexes), telles que la série \(\sum u_n\) soit convergente, est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles (resp. complexes) de limite nulle.
Définition : Sous-espace vectoriel
Soit \((E, +, .)\) un \(K\)-espace vectoriel, et soit \(F\) une partie de \(E\) telle que :
\(F\) est non vide ;
\(F\) est stable pour l'addition : \(\forall u\in F\), \(\forall v\in F\), \(u+v\in F\);
\(F\) est stable pour la multiplication par un scalaire :\(\forall\lambda\in K\), \(\forall u\in F\),\(\lambda u\in F\).
Alors la partie \(F\), munie de ces deux lois, a une structure de \(K\)-espace vectoriel et est appelée sous-espace vectoriel de E.
On en déduit en particulier la propriété suivante.
Soit \((u_n)\) une suite réelle ; on pose, pour tout entier \(n\), \(u_n^+=\textrm{max}(u_n,0)\) et \(u_n^-=\textrm{max}(-u_n,0)\). On a : \(u_n=u_n^+-u_n^-\) et \(|u_n|=u_n^++u_n^-\).
Donc, d'après le théorème précédent, si les séries \(\sum u_n^+\) et \(\sum u_n^-\) sont convergentes, les séries \(\sum u_n\) et \(\sum |u_n|\)sont convergentes.
On verra ultérieurement que, si la série \(\sum |u_n|\) est convergente, alors les séries \(\sum u_n^+\) et \(\sum u_n^-\) sont convergentes, et donc la série \(\sum u_n\) est également convergente.
Pour les séries à termes complexes on a la proposition :
Proposition :
Une série de terme général \(u_n\) appartenant à \(C\) est convergente si et seulement si les deux séries de terme général respectif Re(\(u_n\)) et Im(\(u_n\)) sont convergentes.
Preuve :
La suite \((s_n)\) est convergente si et seulement si les deux suites \((Re(s_n))\) et \((Im(s_n))\) le sont.
Cette proposition montre que l'étude d'une série à termes complexes se ramène à l'étude de deux séries à termes réels.