Séries absolument convergentes
La notion de convergence absolue est fondamentale car le théorème suivant est le principal outil pour l'étude des séries. Ce théorème va orienter l'étude des séries vers celle des séries à termes positifs.
Définition :
Soit \((u_n)\) une suite à termes réels (resp. complexes). On dit que la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente si la série de terme général \(|u_n|\)est convergente.
Théorème :
Une série à termes réels (resp. complexes) absolument convergente est convergente.
Preuve :
Soit \(\epsilon\) un réel strictement positif.
La série \(\sum|u_n|\) est convergente. Elle satisfait donc à la condition de Cauchy. Il existe un rang \(N\) tel que :
\(\forall (m,p)\in \textrm{ N}^2,p>m\geq N\Rightarrow \displaystyle{\sum_{k=m+1}^p}|u_k|<\epsilon\)
Soient \(m\) et \(p\) tels que \(p>m\geq N\). On a alors, en appliquant l'inégalité triangulaire :
\(\left|\displaystyle{\sum_{k=m+1}^p}u_k\right|\leq \displaystyle{\sum_{k=m+1}^p}|u_k|<\epsilon\)
On a donc montré la propriété suivante :
\(\forall \epsilon>0, \exists N\in \textrm{ N}, \forall(m,p)\in \textrm{ N}^2, p>m\geq N\Rightarrow \left|\displaystyle{\sum_{k=m+1}^p}u_k\right|<\epsilon\)
La série \(\sum u_n\) satisfait donc à la condition de Cauchy : elle est convergente.
La preuve ci-dessus utilise le critère de Cauchy, en voici une qui est la conséquence du théorème de comparaison
Preuve :
Il s'agit de montrer que toute série \(\sum u_n\) telle que la série \(\sum |u_n|\) est convergente, est également convergente. Compte tenu des inégalités \(\textrm{Re}(u_n)\leq|u_n|\) et \(\textrm{Im}(u_n)\leq|u_n|\), il suffit de montrer cette propriété pour des séries réelles.
On considère donc une série \(\sum u_n\) à termes réels. On a, pour tout \(n\) : \(u_n^+\leq|u_n|\) et \(u_n^-\leq|u_n|\). Ainsi, si la série \(\sum |u_n|\) est convergente, il en est de même des séries \(\sum u_n^+\) et \(\sum u_n^-\), et donc de la série \(\sum u_n\).
Remarque :
La convergence absolue est une condition suffisante de convergence. Nous verrons des séries qui sont convergentes, sans être absolument convergentes.