Critère de Cauchy pour les séries
Pour une série à termes réels ou complexes, exprimer que la suite des sommes partielles satisfait à la condition de Cauchy constitue une condition nécessaire et suffisante de convergence.
Critère de Cauchy pour les séries.
Soit \((u_n)\) une suite de nombres réels ou complexes. Pour que la série de terme général \(u_n\) soit convergente, il faut et il suffit que, pour tout \(\epsilon>0\), il existe un rang \(N\) tel que les inégalités \(p>m\geq N\) entraînent
\(\left|u_{m+1}+u_{m+2}+\ldots+u_p\right|=\left|\displaystyle{\sum_{k=m+1}^p}u_k\right|<\epsilon\)
On écrit encore, en langage formalisé,
\(\forall \epsilon \in R^*_+, \exists N\in N, \forall(m,p)\in N^2, p>m\geq N\Rightarrow\left|\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{2n}}u_k\right|<\epsilon\)
On peut retrouver la propriété, vue déjà dans le cours sur les suites, que la série harmonique ou série de terme général \(\frac1n(n\geq 1)\) est divergente.
On a en effet :
\(s_n=1+\frac12+\ldots+\frac1n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n}\frac1k\) et \(s_{2n}-s_n=\displaystyle{\sum_{k=n+1}^{2n}}\frac1k\geq\frac{n}{2n}=\frac12\)
Cet exemple illustre encore le fait qu'il n'est pas suffisant que le terme général tende vers 0 pour que la série soit convergente.
Remarque
Comme pour les suites, le critère de Cauchy est un outil, essentiellement théorique, très important. Sur le plan pratique, ce sont ses diverses conséquences qui sont le plus souvent utilisées.