Exemples
Étude de la série de terme général \(u_n=(-1)^n\)
On a, pour tout entier \(h\) : \(s_{2h}=1\) et \(s_{2h+1}=0\). La suite \((s_n)\) n'a pas de limite et la série de terme général \(u_n=(-1)^n\) est divergente.
Étude de la série de terme général \(u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}(n\geq 1)\)
On a, pour tout entier \(n\geq 1\textrm{ : } s_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\).
Donc la suite \((s_n)\) tend vers \(+\infty\) et la série de terme général \(\frac{1}{\sqrt{n}}(n\geq 1)\) est divergente.
Étude de la série de terme général \(\frac{1}{n!}\)
On a défini, dans le cours sur les suites, le nombre \(e\) comme la limite commune des deux suites adjacentes \((v_n)\) et \((w_n)\) définies, pour tout entier \(n\geq 1\) par :
\(v_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\) et \(w_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n.n!}\).
En fait, on reconnaît dans la suite \((v_n)\) la suite (pour \(n\geq 1\)) des sommes partielles de la série de terme général \(\frac{1}{n!}\). La limite commune des deux suites est donc \(e\).
La série \(\sum \frac{1}{n!}\)est convergente et a pour somme le nombre \(e\).
Étude de la série géométrique
On considère la série (appelée série géométrique de raison \(x\)) de terme général \(u_n=x^n(x\in R)\)
On a : \(s_n=1+x+x^2+\ldots+x^n\).
Dans le cas où \(x=1\), on a : \(\forall n\geq 0, s_n=n+1\). La suite \((s_n)\) tend vers \(+\infty\) et la série diverge.
Sinon, pour \(x\neq 1\), on a : \(s_n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\). La suite \((s_n)\) est convergente si et seulement si la suite \(x^n\) est convergente. On distingue donc les cas \(|x|<1\) et \(|x|\geq 1\).
Si x vérifie \(|x|\geq 1\), la suite \((x^n)\) est divergente et la série \(\sum x^n\) l'est également.
Si x vérifie \(|x|<1\), la suite \((x^n)\) est convergente et a pour limite 0. La série géométrique \(\sum x^n\) est convergente et a pour somme \(\frac{1}{1-x}\). Le reste \(r_n\) vérifie, pour tout entier \(n\), \(|r_n|\leq\frac{|x|^{n+1}}{1-x}\) et la convergence de la série est d'autant plus rapide que \(|x|\) est petit.
Pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(]-1,1[\), on a : \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}x^n=\frac{1}{1-x}\).