Condition nécessaire de convergence
Comme pour les suites, la nature d'une série (convergence ou divergence) ne dépend que du comportement du terme général \(u_n\) quand \(n\) tend vers l'infini. C'est ce que montre la proposition suivante.
Proposition :
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites à termes réels ou complexes. S'il existe un rang \(N\), tel qu'on ait pour tout entier \(n\geq N\), \(u_n=v_n\), alors les séries de terme général \(u_n\) et \(v_n\) sont de même nature.
Preuve :
On pose, pour tout entier \(n\) : \(s_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n}u_k\) et \(t_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n}v_k\). On a donc, pour tout entier \(n\geq N\) : \(s_n-t_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n}(u_k-v_k)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{N-1}}(u_k-v_k)\). Cette différence étant constante à partir du rang \(N\), les deux suites \((s_n)\) et \((t_n)\) sont de même nature.
Théorème :
Pour que la série de terme général \(u_n\) soit convergente, il est nécessaire que
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}u_n=0\).
Mais cette condition n'est pas suffisante.
Preuve :
On a, pour tout entier \(n\geq 1\), \(u_n=s_n-s_{n-1}\). La convergence de la suite \((s_n)\) entraîne l'égalité \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}u_n=0\).
Cette condition n'est pas suffisante comme le montre l'exemple de la série de terme général \(\frac{1}{\sqrt{n}}(n\geq 1)\). On a vu que cette série est divergente, or le terme général \(\frac{1}{\sqrt{n}}(n\geq 1)\) tend vers 0.
Corollaire.
Si \(u_n\) ne tend pas vers 0, la série de terme général \(u_n\) est divergente.
Exemple :
On a déjà vu que la série de terme général \((-1)^n\) est divergente. On voit aussi immédiatement que la série géométrique \(\sum z^n\) , pour \(z\in \mathbb C\), est divergente pour tout \(z\) vérifiant \(|z|\geq 1\).
On considère la série de terme général \(u_n=\cos n\).
On montre, par l'absurde, que le terme général \(u_n\) ne tend pas vers 0 quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Si \(\cos n\) tendait vers 0, on aurait, pour \(n\) assez grand, \(|\cos n|<\frac12\). On déduit de cette inégalité l'encadrement \(-1\leq \cos 2n=2\cos^2 n-1<-\frac12\) et donc l'inégalité \(|\cos 2n|>\frac12\). D'où la contradiction. Ainsi, quand \(n\) tend vers \(+\infty\), le terme général \(\cos n\) ne tend pas vers 0 et la série de terme général \(u_n\) est divergente.