Exercice 1
Partie
Question
Montrer que les couples de fonctions \((u(t) = A e^t + B e^{3t}, v(t) = A \textrm{ et }- B e^{3t})\) sont des solutions[1] du système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=2x-y \\ y'=-x+2y\end{array}\right.}\)
Tracer, pour \(A = B = 1\), les graphes de \(u(t)\) et \(v(t)\), puis la courbe paramétrée \(x = u(t)\), \(y = v(t)\).
Solution détaillée
Si \({u(t)=Ae^t+3Be^{3t}}\) et \({v(t)=Ae^t-3Be^{3t}}\),
alors en dérivant on obtient
\({u'(t)=Ae^t+3Be^{3t}=2u(t)-v(t)}\)
\({v'(t)=Ae^t-3Be^{3t}=-u(t)+2v(t)},\)
donc le couple de fonctions \((u, v)\) est une solution du système donné.
Pour \(A = B = 1\), on obtient \({u(t)=e^t+e^{3t},v(t)=e^{t}-e^{3t}}\)
Les graphes de \(u\) et \(v\) sont représentés ci-dessous
La courbe paramétrée d'équation \(x=u(t),y=v(t)\) est une trajectoire du système.
La fonction \(u\) est toujours croissante ; \(v(t)\) est croissante pour \(t\in]-\infty,-\frac{1}{2}\ln(3)[,\), et décroissante ensuite.
Quand \(t\to-\infty,(u(t),v(t))\to(0,0)\)
et quand \(t\to+\infty,u(t)\to+\infty,v(t)\to-\infty\) et \(\frac{u(t)}{v(t)}\to-1\)
Il y a donc une direction asymptotique de pente -1, mais comme \(u(t)+v(t)=2e^t\to+\infty\)
, il n'y a pas de droite asymptote.
La trajectoire est représentée ci-dessous.
