Exercice 5
Partie
Question
Montrer que le système :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & t(y+1) \\ y' & = & (t-1)(x^2-1)\end{array}\right.}\)
admet deux solutions constantes que l'on déterminera.
Solution détaillée
Si \((x(t), y(t))\) est une solution constante du système, on a forcément \(x'(t) = y'(t) = 0\) pour tout \(t\), donc \(t(y+1) = 0 \textrm{ et }(t-1)(x^2-1) = 0\) pour tout \(t\), d'où nécessairement \(y+1 = 0\) et \(x^2-1 = 0\).
Il y a donc exactement deux solutions constantes \((x_1(t) , y_1(t))\) et \((x_2(t), y_2(t))\), avec
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x_1(t) & = & 1 \\ y_1(t) & = & -1\end{array}\right.}\)
et
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x_1(t) & = & -1 \\ y_1(t) & = & -1\end{array}\right.}\)