Exercice 10
Partie
Question
Considérons l'équation linéaire du second ordre \(x'' + x = 0\) (1).
Résoudre cette équation
Ecrire le système du premier ordre (2) associé à cette équation ; en utilisant le a), donner les solutions \(x(t)\), \(y(t)\) de ce système.
Calculer \(x(t)^2 + y(t)^2\). En déduire le tracé des trajectoires[1] du système (2).
Solution détaillée
1. Les solutions réelles de l'équation \(x'' + x = 0\) sont les fonctions de la forme \(x(t) = A\cos t + B\sin t\) (\(A\), \(B\) constantes réelles arbitraires)
2. On trouve le système du premier ordre associé en posant \(y = x\)', ce qui donne le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & y \\ y' & = & -x \end{array}\right.}\)
Si \(x(t)\) a la forme donnée au a), on obtient
\(y(t)=x'(t)=-A\sin t+B\cos t\)
Les solutions du système donné au b) sont donc les couples de fonctions de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x(t) & = & A\cos t+B\sin t \\ y(t) & = & B\cos t-A\sin t \end{array}\right.}\)
3. On trouve \(x(t)^2+y(t)^2=A^2+B^2\) . La longueur du vecteur \((x(t),y(t))\) , égale à \(R=\sqrt{A^2+B^2}\), est donc constante sur chaque trajectoire.
Chacune de ces trajectoires se trouve donc sur un cercle de centre O et de rayon \(R\).
Remarque : les trajectoires sont situées sur des cercles, mais parcourent-elles les cercles tout entiers ? On peut vérifier que les solutions s'écrivent encore
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & \sqrt{A^2+B^2}\cos(t-\arctan(B/A)) \\ y(t) & = & \sqrt{A^2+B^2}\sin(t-\arctan(B/A)) \end{array}\right.}\)
L'angle polaire du vecteur \(x(t),y(t)\) est donc égal à \(t-\arctan(B/A)\). Quand \(t\) parcourt un intervalle de longueur \(2 \pi\), le point \(x(t),y(t)\) parcourt donc le cercle tout entier.